Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²+bx+c經過點（1，-1），且對稱軸為直線x=2，點P、Q均在拋物線上，點P位于對稱軸右側，點Q位于對稱軸左側，PA垂直對稱軸于點A，QB垂直對稱軸于點B，且QB=PA+1，設點P的橫坐標為m．
（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；
（2）求點Q的坐標（用含m的式子表示）；
（3）請?zhí)骄縋A+QB=AB是否成立，并說明理由；
（4）拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經過Q、B、P三點，若其對稱軸把四邊形PAQB分成面積比為1：5的兩部分，直接寫出此時m的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,三角形的面積

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)經過的點的坐標和對稱軸列出關于b、c的方程組，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）根據(jù)點P在拋物線上表示點P的坐標，再求出PA，然后表示出QB，從而求出點Q的橫坐標，代入拋物線解析式求出點Q的縱坐標，從而得解；
（3）根據(jù)點P、Q的坐標表示出點A、B的坐標，然后分別求出PQ、BQ、AB，即可得解；
（4）根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁的對稱軸為QB的垂直平分線，然后根據(jù)四邊形PAQB被分成的兩個部分列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經過點（1，-1），且對稱軸為在線x=2，
∴

1+b+c=-1 - b 2 =2

，
解得

b=-4 c=2

．
∴這條拋物線所對應的函數(shù)關系式y(tǒng)=x²-4x+2；

（2）∵拋物線上點P的橫坐標為m，
∴P（m，m²-4m+2），
∴PA=m-2，
QB=PA+1=m-2+1=m-1，
∴點Q的橫坐標為2-（m-1）=3-m，
點Q的縱坐標為（3-m）²-4（3-m）+2=m²-2m-1，
∴點Q的坐標為（3-m，m²-2m-1）；

（3）PA+QB=AB成立．
理由如下：∵P（m，m²-4m+2），Q（3-m，m²-2m-1），
∴A（2，m²-4m+2），B（2，m²-2m-1），
∴AB=（m²-2m-1）-（m²-4m+2）=2m-3，
又∵PA=m-2，QB=m-1，
∴PA+QB=m-2+m-1=2m-3，
∴PA+QB=AB；

（4）∵拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0）經過Q、B、P三點，
∴拋物線y=a₁x²+b₁x+c₁的對稱軸為QB的垂直平分線，
∵對稱軸把四邊形PAQB分成面積為1：5的兩部分，
∴

1

2

×

m-1

2

×

2m-3

2

=

1

1+5

×

1

2

（2m-3）×（2m-3），
整理得，（2m-3）（m-3）=0，
∵點P位于對稱軸右側，
∴m＞2，
∴2m-3≠0，
∴m-3=0，
解得m=3．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線上點的坐標特征，三角形的面積，難點在于（4）根據(jù)拋物線的對稱性判斷出拋物線的對稱軸為QB的垂直平分線．