Question

如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，過A作腰CD的平行線，AE∥CD，AB=AD=DC，∠B=60°
（1）△ABE是什么三角形？說明理由；
（2）已知，AB=5，試求梯形ABCD的周長(zhǎng)及對(duì)角線AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，AE∥CD，根據(jù)有兩邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可得四邊形AECD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求得AE=DC，繼而求得AB=AE，又由∠B=60°，根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，即可證得△ABE是等邊三角形．
（2）首先證得四邊形AECD是菱形，根據(jù)等腰梯形與菱形的性質(zhì)，即可求得∠ACB的度數(shù)，繼而求得∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)，即可求得BC的長(zhǎng)，又由勾股定理，即可求得AC的長(zhǎng)，則可求得答案．

解答：解：（1）△ABE是等邊三角形．
理由：∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=CD，
∵AB=CD，
∴AE=AB，
∵∠B=60°，
∴△ABE是等邊三角形．

（2）∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=CD，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵四邊形AECD是平行四邊形，AD=DC，
∴四邊形AECD是菱形，
∴∠ACB=

1

2

∠DCB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=5，
∴BC=10，
∴AC=

BC2-AB2

=5

3

；
∴AD=CD=5，
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)為：5+5+5+10=25，AC=5

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰梯形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．