Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點B在x軸上，且B（-1，0），A點的橫坐標(biāo)是2，AB=3BC，雙曲線y=$\frac{4m}{x}$（m＞0）經(jīng)過A點，雙曲線y=-$\frac{m}{x}$經(jīng)過C點，則Rt△ABC的面積為$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，由A點的橫坐標(biāo)是2，且在雙曲線y=$\frac{4m}{x}$（m＞0）上，求出點的坐標(biāo)，得到線段的長度，利用三角形相似得到點的坐標(biāo)，列方程求解．

解答 解：過點A作AE⊥x軸于E，過點C作CF⊥x軸于F，
∵A點的橫坐標(biāo)是2，且在雙曲線y═$\frac{4m}{x}$（m＞0）上，
∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠FCB，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{BF}{AE}$=$\frac{AB}{BC}$=3，
∴CF=1，BF=$\frac{2m}{3}$，
∴C（-1-$\frac{2m}{3}$，1），
∵雙曲線y=-$\frac{m}{x}$經(jīng)過C點，
∴-1-$\frac{2m}{3}$=-m，
∴m=3，
∴A（2，6），C（-3，1），
∴AE=6，CF=1，EF=5，BF=3-1=2，BE=1+2=3，
∴Rt△ABC的面積=S_梯形ACFE-S_△BCF-S_△ABE=$\frac{1}{2}$（6+1）×5-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×6=$\frac{15}{2}$．
故答案為：$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求點的坐標(biāo)，相似三角形的判定和性質(zhì)，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，構(gòu)造直角三角形．