Question

【題目】如圖（1），已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)方向交于C點(diǎn)，且．

（1）試求出拋物線的解析式；

（2）E為直線上．動(dòng)點(diǎn)，F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)F點(diǎn)在對(duì)稱軸上何處時(shí)，四邊形ACFE的周長(zhǎng)最短，并求出此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)；

（3）如圖（2），為x軸上一點(diǎn)，拋物線上x軸的上方是否存在點(diǎn)P，使得線段AP與直線CD相交且它們的夾角為45°，若存在這樣的P點(diǎn)，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形ACFE的最短周長(zhǎng)，；（3）存在這樣的P點(diǎn)，且

【解析】

（1）令y=0，可求得A(-1.0),B(3,0),根據(jù)條件求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出a即可;

（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y=1的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線y=1交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F，此時(shí)四邊形ACEF的周長(zhǎng)最短，求出直線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即可;

（3）設(shè)AP交CD于M，連BC．可證，得出，過(guò)M作軸于E，則可證，得到，，得到AM的解析式，聯(lián)立方程組即可求解.

解：（1），

∴，．

∵，，

∴．∴，∴

（2）設(shè)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，設(shè)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為則．

設(shè)直線的解析式為，

則有，解得

∴，當(dāng)時(shí)，，∴．

四邊形ACFE的最短周長(zhǎng)，

，．

∴四邊形ACFE的最短周長(zhǎng)，此時(shí)．

（3）設(shè)AP交CD于M，連BC．

可證：，

∴，即．

∴．

過(guò)M作軸于E，則可證，

∴，即．

∴，，

∴AM的解析式為：．

由解得舍去

∴存在這樣的P點(diǎn)，且