Question

（2013•龍灣區(qū)一模）如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x²+2mx與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．點(diǎn)P在一次函數(shù)y=2x-2m的圖象上，PH⊥x軸于H，直線AP交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1．（點(diǎn)C不與點(diǎn)O重合）
（1）如圖1，當(dāng)m=-1時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）如圖2，當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，問m為何值時(shí)

CP

AP

=2？
（3）是否存在m，使

CP

AP

=2？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將m=-1代入y=2x-2m，得到y(tǒng)=2x+2，再令x=1，求出y=4，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）先由PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

PA

CA

=

AH

AO

，由

CP

AP

=2，得出OA=

1

2

，再解方程-x²+2mx=0，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)（2m，0），則2m=

1

2

，m=

1

4

；
（3）分四種情況討論：①當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，由（2）得m=

1

4

，將m=

1

4

代入y=2x-2m，得到y(tǒng)=2x-

1

2

，再將x=1代入，求出y的值，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)

1

2

≤m＜1時(shí)，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

PA

CA

=

AH

AO

，由

CP

AP

=2，得出OA=

3

2

，解方程2m=

3

2

，得出m=

3

4

，再同①；
③當(dāng)m≥1時(shí)，同②，求出m=

3

4

舍去；
④當(dāng)m≤0時(shí)，先由PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

PA

CA

=

AH

AO

，由

CP

AP

=2，得出CP＞AP，而CP＜AP，所以m的值不存在．

解答：解：（1）如圖1，當(dāng)m=-1時(shí)，y=2x+2，
令x=1，則y=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）如圖2，∵PH⊥x軸，∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

PA

CA

=

AH

AO

=1，∴OA=

1

2

．
令y=0，則-x²+2mx=0，
∴x₁=0，x₂=2m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（2m，0），
∴2m=

1

2

，∴m=

1

4

；

（3）①當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，由（2）得m=

1

4

，
∴y=2x-

1

2

，
令x=1，則y=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

3

2

）；
②如圖3，當(dāng)

1

2

≤m＜1時(shí)，
∵PH⊥x軸，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

AH

AO

=

1

3

，∴OH=

2

3

OA，
∵OH=1，∴OA=

3

2

，
∴2m=

3

2

，m=

3

4

，
∴y=2x-

3

2

，
令x=1，則y=

1

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

1

2

）；
③如圖4，當(dāng)m≥1時(shí)，
∵PH⊥x軸，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴

AH

AO

=

1

3

，∴OH=

2

3

OA，
∵OH=1，∴OA=

3

2

，
∴2m=

3

2

，m=

3

4

，
∵m＞1，∴m=

3

4

舍去；
④如圖5，當(dāng)m≤0時(shí)，
∵PH⊥x軸，∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，∴

PA

CA

=

AH

AO

，
∵

CP

AP

=2，∴CP＞AP，
又∵CP＜AP，
∴m的值不存在．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．第（3）小問中運(yùn)用分類討論思想將m的取值劃分范圍并且畫出相應(yīng)圖形，從而利用數(shù)形結(jié)合及方程思想解決問題是本小題的關(guān)鍵．