Question

5．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2]=2，[2.9]=2，設f（x）=[x[x]]，
（1）當1≤x＜2時，則f（x）的值等于1，f（x）的值的個數(shù)是1；
（2）當1≤x＜3時，則f（x）的值等于1，4，5，f（x）的值的個數(shù)是3；
（3）當1≤x＜n時，求f（x）的值的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由[x]表示不超過x的最大整數(shù)，可求得當1≤x＜2時，[x[x]]的值，繼而求得答案；
（2）由[x]表示不超過x的最大整數(shù)，可求得當1≤x＜3時，[x[x]]的值，繼而求得答案；
（3）由[x]表示不超過x的最大整數(shù)，可求得當1≤x＜n時，[x[x]]的值，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵當1≤x＜2時，[x]=1，1≤x[x]＜2，
∴[x[x]]=1，
即f（x）=1，f（x）的值的個數(shù)是1；
故答案為：1，1；

（2）∵當1≤x＜3時，[x]=1或2，x[x]=1，或4≤x[x]＜6，
∴[x[x]]=1，4，5，
即f（x）=1，4，5，f（x）的值的個數(shù)是3；
故答案為：1，4，5；3；

（3）當1≤x＜n時，[x]=1，2，3…n-1，x[x]=1，或4≤x[x]＜6，或9≤x[x]＜12，…．
∴[x[x]]=1，4，5，9，10，11，16，17，19，…
∴f（x）的值的個數(shù)是1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

點評 此題考查了取整函數(shù)的知識．注意理解[x]表示不超過x的最大整數(shù)是關鍵．