Question

如圖，直線AB經(jīng)過圓O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交直線OB于E、D，連接CE、CD．
（1）求證：直線AB是圓O的切線；
（2）證明：∠BCD=∠E；
（3）證明：BC²=BD•BE．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OC，根據(jù)OA=OB，CA=CB，可以證明OC⊥AB，利用切線的判定定理，經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，得到AB是⊙O的切線；
（2）根據(jù)ED是直徑，得到∠ECD=90°，從而得到∠E+∠EDC=90°，然后根據(jù)∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，得到∠BCD=∠E即可；
（3）根據(jù)前面題目的條件和∠CBD=∠EBC，證得△BCD∽△BEC，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可．

解答：解：（1）證明：如圖，連接OC． 
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是圓O的切線；

（2）∵ED是直徑，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E；

（3）由（2），又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；

點評：本題考查切線的判定及性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，包括切線的判定，線段等量關(guān)系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．