Question

已知AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，PB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥PB，交⊙O于點(diǎn)D，交PA于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BDC=∠APB；
（2）若PA=8，PB=10，求線段CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，則可知∠ACB=90°，由PA是切線知∠PAB=90°，可得到∠BPA=∠CAB，且∠CAB=∠BDC，可得出結(jié)論；
（2）設(shè)AC交EO于點(diǎn)F，則可知OE⊥AC，且F為AC中點(diǎn)，由條件可求得CF=AF=

12

5

，再在Rt△OAF中求得OF的長，可求得DF的長，在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD的長．

解答：解：（1）如圖，連接AC交EO于點(diǎn)F，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵PA為⊙的切線，
∴∠PAO=90°，
∴∠APB+∠CBA=90°，
∴∠APB=∠CAB，
又∵∠CDB和∠CAB為弧BC所對(duì)的圓周角，
∴∠CDB=∠CAB，
∴∠APB=∠BDC；

（2）∵OE∥PB，
∴OE⊥AC，
∴AF=FC=

1

2

AC，
∵PA=8，PB=10，
∴AB=6，
由等積法可得PA•AB=PB•AC，可求得AC=

24

5

，
∴AF=AC=

12

5

，且AO=3，
在Rt△AFO中，由勾股定理可求得OF=

9

5

，則DF=OD-OF=3-

9

5

=

6

5

，
在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD=

6 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，在（1）中找到∠APB和∠CAB及∠BDC和∠CAB之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（2）中由條件得出OE⊥AC是解題的關(guān)鍵．