Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為等腰三角形？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．
（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數(shù)式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；利用S_△CPQ：S_△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題．
（3）可分三種情況進(jìn)行討論：由CQ=CP可建立關(guān)于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關(guān)于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關(guān)于t的方程，從而求出t．
（4）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．
∴線段CD的長為4.8．
（2）①過點(diǎn)P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．
由題可知DP=t，CQ=t．
則CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{PC}{AB}$．
∴$\frac{PH}{8}=\frac{4.8-t}{10}$．
∴PH=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}$t．
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ•PH=$\frac{1}{2}$t（$\frac{96}{25}$-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{48}{25}$t．
②存在某一時(shí)刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
且S_△CPQ：S_△ABC=9：100，
∴（-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{48}{25}$t）：24=9：100．
整理得：5t²-24t+27=0．
即（5t-9）（t-3）=0．
解得：t=$\frac{9}{5}$或t=3．
∵0＜t＜4.8，
∴當(dāng)t=$\frac{9}{5}$秒或t=3秒時(shí)，S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，如圖1，
則t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如圖2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{t}{2}$．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CP}{AB}$．
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}=\frac{4.8-t}{10}$．
解得：t=$\frac{144}{55}$．
③若QC=QP，
過點(diǎn)Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
綜上所述：當(dāng)t為2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒時(shí)，△CPQ為等腰三角形．
（4）由題可知有兩種情形，
設(shè)DP=t，CQ=t．則CP=4.8-t．
①當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，如圖a

∵△QCP∽△△ABC
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{BC}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{4.8-t}{6}$，
∴t=3；
②當(dāng)PQ⊥AC，如圖b．
∵△PCQ∽△ABC，
∴$\frac{CP}{AB}$=$\frac{CQ}{BC}$，即$\frac{4.8-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，解得t=$\frac{9}{5}$，
∴當(dāng)t為3或$\frac{9}{5}$時(shí)，△CPQ與△△ABC相似是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理等知識(shí)，具有一定的綜合性，而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉(zhuǎn)化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關(guān)鍵．