Question

等腰梯形ABCD中，如圖1，AB∥CD，AD=BC，延長AB到E，使BE=CD，連接CE．
（1）求證：CE=CA；
（2）上述條件下，如圖2，若AF⊥CE于點(diǎn)F，且AF平分∠DAE，，求sin∠CAF的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴AC=BD，CD∥BE，
∵CD=BE，
∴四邊形DBEC是平行四邊形
∴CE=BD，
∴CE=CA；

（2）解：∵CD=BE，且，
∴=
∵AF⊥EC，BD∥EC
∴AF⊥BD，設(shè)垂足為O
∵AF平分∠DAB
∴AF垂直平分BD，即BO=BD=AC=CE
∵BO∥CE
∴==，即=
∴EF=CE
∴CF=CE=AC
∴sin∠CAF==．
分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AC=BD，而CDBE，因此四邊形CEBD是平行四邊形，CE=BD，因此可得出CE=CA；
（2）要求∠CAF的正弦值，就要知道，CF和AC的比例關(guān)系．由于BD∥CE，AF⊥CE，那么AF⊥BD，而AF平分∠DAB，因此AF垂直平分BD，如果設(shè)AF，BD交于O點(diǎn)，那么BO=BD=AC=CE．根據(jù)CD：AE=2：5，即BE：AE=2：5，可得出AB：AE=3：5，有BO∥CE，得出BO：EF=AB：AE，也就求出了BF何CE的比例關(guān)系，便可得出CF和EC的比例關(guān)系，由于CE=AC，因此也就得出了CF和AC的比例關(guān)系即可得出∠CAF的正弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，本題中通過AF垂直平分BD得出BO=BD，進(jìn)而求出EF和CE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．