Question

觀察圖回答問題：
圖中的圓被線段隔開分成了四層，則第一層有1個圓，第二層有3個圓，第三層有5個圓…，
（1）如繼續(xù)畫下去，第五層有

9

個圓，第n層應(yīng)畫

2n-1

個圓；
（2）某一層上有99個圓，則這是在第

50

層；
（3）前三層共有

9

個圓；前十層共有

100

個圓；
（4）請推算，這種圖前n層共有多少個圓？

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：第n層所對應(yīng)的圓的個數(shù)正好是所對應(yīng)的奇數(shù)，即2n-1．
（2）令2n-1=99求得n值即可；
（3）根據(jù)圖行寫出前三層和前十層的圓的個數(shù)即可；
（4）首先正確計算出前面幾層的和，再根據(jù)得數(shù)和層數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推而廣之．

解答：解：根據(jù)題意得：
（1）∵第三層有5個圓，第四層有7個圓；
∴5層應(yīng)該9個圓，
∵每一層都比其前一層多2個圓，
∴第n層有（2n-1）個圓；
（2）2n-1=99
解得：n=50，
故50層有99個圓；
（3）前三層共有9個圓；前十層共有100個圓；
（4）1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；
則n層的圓的個數(shù)和是1+3+5+…+2n-1=n²；
故答案為：（1）9，2n-1；（2）50；（3）9，100．

點評：此題考查了圖形的變化類問題，要能夠結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)每層的點數(shù)的規(guī)律：第n層圓的個數(shù)是對應(yīng)的奇數(shù)2n-1；前n層的圓的個數(shù)和是1+3+…+2n-1=n²．