Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點(diǎn)P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點(diǎn)間的直角距離，記作d（P1 ， P2）．
（1）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足d（O，P）=1，請(qǐng)寫出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐標(biāo)系中畫出所有符合條件的點(diǎn)P所組成的圖形；
（2）設(shè)P0（x0 ， y0）是一定點(diǎn)，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動(dòng)點(diǎn)，我們把d（P0 ， Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，得|x|+|y|=1，

∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）

∴d（0，P）=|x|+|y|

∴|x|+|y|=1

①x≥0，y≥0

∴x+y=1

y=1﹣x

②x≤0，y≤0

∴﹣x﹣y=1

y=﹣x﹣1

③x≥0，y≤0

∴x﹣y=1

y=x﹣1

④x≤0，y≥0

∴﹣x+y=1

y=1+x

將四個(gè)函數(shù)關(guān)系式表示在數(shù)軸上，所有符合條件的點(diǎn)P組成的圖形如圖所示：

（2）

解：∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切實(shí)數(shù)，|x﹣2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3．

∴點(diǎn)M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3

【解析】（1）根據(jù)新的運(yùn)算規(guī)則知|x|+|y|=1，據(jù)此可以畫出符合題意的圖形；（2）根據(jù)新的運(yùn)算規(guī)則知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由絕對(duì)值與數(shù)軸的關(guān)系可知，|x﹣2|+|x+1|表示數(shù)軸上實(shí)數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)2和﹣1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，其最小值為3．
【考點(diǎn)精析】利用絕對(duì)值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，0的絕對(duì)值是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；注意：絕對(duì)值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離．