Question

如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．
（1）作點(diǎn)P，使它與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，連接CP、DP；
（2）若四邊形ABCD是矩形，試判斷（1）中所得四邊形CODP的形狀并說明理由；
（3）若（1）中所得四邊形CODP是正方形，請(qǐng)用圖中的字母和符號(hào)表示四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件：______．

Answer 1

解：（1）如圖：


（2）∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，
∴DE=CE，
又∵EP=OE，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴?CODP是菱形．

（3）若（1）中所得四邊形CODP是正方形，請(qǐng)用圖中的字母和符號(hào)表示四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件：OC=OD，AC⊥BD．
分析：（1）根據(jù)中心對(duì)稱的定義延長(zhǎng)OE至P，使EP=OE．
（2）首先由DE=CE，EP=OE，得出四邊形CODP是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)知OC=OD，最后由有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得出四邊形CODP是菱形．
（3）如果四邊形CODP是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知OC⊥OD，OC=OD，從而得出四邊形ABCD應(yīng)滿足的條件．
點(diǎn)評(píng)：中心對(duì)稱的定義：把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)．
一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
正方形的判定：①先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等；②先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角為直角．