Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)A作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)O，交⊙O于點(diǎn)B，延長AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求證：直線PB為⊙O的切線；
（2）若AB=FD，且BC=6，求出PE的長．

Answer 1

證明：（1）連接OB，
∵PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，PO⊥BA，
∴∠AOD=∠BOD，
在△PAO和△PBO中
，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵點(diǎn)B在⊙O上
∴直線PB為⊙O的切線；

（2）∵PO⊥BA，OA=OB，
∴AD=BD，
∵OA=OC，
∴AD=AB=DF，
∴OD=BC=3，
設(shè)AD=x，則DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，
∴x=4，
即AD=4，AO=5，ED=2，
∵∠PAO=∠ADP=∠ADO=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，∠PAD+∠OAD=90°，
∴∠APD=∠OAD，
∴△ADP∽△ADO，
，
，
∴，
∴．
分析：（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠AOP=∠BOP，根據(jù)SAS證△PAO≌△PBO，推出∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出AD=AB=DF，求出OD=3，設(shè)AD=x，則DF=2x，AO=FO=2x-3，在△ADO中，x²+3²=（2x-3）²，求出x=4，證△ADP∽△ADO，求出PD，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．