Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x²-2x-3和直線y=x-3經(jīng)過點A、B，點P是直線AB上的動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，設(shè)點P的橫坐標為t．
（1）點A、B的坐標分別是（3，0）、（0，-3），此結(jié)論可以如何驗證？請你說出兩種方法（不用寫具體證明過程）
（2）若點P在線段AB上，連接AM、BM，當線段PM最長時，求△ABM的面積；
（3）是否存在這樣的點P，使得以點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）一種方法是聯(lián)立方程組求交點坐標，另一種方法是將點的坐標代入解析式即可；
（2）用含t的式子表示出點P，點M 的坐標，用含t的式子表示出PM的長，并求出PM最大時t的值，根據(jù)分割法求出△ABM的面積即可；
（3）根據(jù)點P的不同位置，分三種情況討論：當0＜t≤3時；當t＞3時；當t＜0時；用含t的式子表示線段PM的值，根據(jù)平行四邊形的判定方法，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，令PM=OB，求出t的值即可．

解答 解：（1）方法一：聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2x-3}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，求交點坐標；
方法二：將點A（3，0），點B（0，-3）分別代入拋物線和直線的解析式，判斷點A，點B是否在拋物線和直線上；
（2）由點P在直線ABy=x-3上，可得：當x=t時，y=t-3，即點P（t，t-3），
由點M在拋物線y=x²-2x-3上，可得：當x=t時，y=t²-2t-3，即點M（t，t²-2t-3），
當點P在線段AB上時，PM=t-3-（t²-2t-3）=t-3-t²⁺2t+3=-t²+3t=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$，
∴當t=$\frac{3}{2}$時，PM最大，最大值為$\frac{9}{4}$，
S_△ABM=S_△APM+S_△BPM=$\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}×\frac{9}{4}×\frac{3}{2}=\frac{27}{8}$；
（3）存在．
理由：當0＜t≤3時，如圖1，
由題意，可知：OB∥PM，要使四邊形OBPM是平行四邊形，需滿足OB=PM即可；
由（2）可知，PM的最大值為$\frac{9}{4}$，
所以PM總小于OB，
∴不存在這樣的點P，使得四邊形OBPM是平行四邊形；
當t＞3時，如圖2，
此時，PM=t²-2t-3-t+3=t²-3t，
由題意，可知：OB∥PM，要使四邊形OBPM是平行四邊形，需滿足OB=PM即可；
即t²-3t=3，解得：${t}_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（不合題意，舍去）；
當t＜0時，如圖3，
此時，PM=t²-2t-3-t+3=t²-3t，
由題意，可知：OB∥PM，要使四邊形OBPM是平行四邊形，需滿足OB=PM即可；
即t²-3t=3，解得：${t}_{1}=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（不合題意，舍去），${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$；
綜上所述，點P的橫坐標是$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或${t}_{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，此題的難點不大，第（2）小題，能熟練運用分割法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵；第（3）小題，能夠想到根據(jù)點P的不同位置進行分類討論是解決此題關(guān)鍵．