【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系x0y中,點(diǎn)A0,2),B1,0),C﹣40)點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)BD,交y軸于點(diǎn)F,MABD的外接圓,過點(diǎn)D的切線交x軸于點(diǎn)E

1)判斷ABC的形狀;

2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí),

證明:CDE∽△ABF;

如圖2My軸的另一交點(diǎn)為N,連結(jié)DNBN,當(dāng)四邊形ABND為矩形時(shí),求tanDBC;

3)點(diǎn)D在射線AC運(yùn)動(dòng)過程中,若,求的值.

【答案】(1)直角三角形;(2)①證明見解析,②;(3)

【解析】試題分析:(1)已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以求出相應(yīng)線段的長度,運(yùn)用三角函數(shù)可以證明ACO=BAO,進(jìn)一步證明BAC=90°;

2)只需證明CDE=ABDDCE=BAF,即可證明相似;

當(dāng)四邊形ABND為矩形時(shí),根據(jù)直角三角形AOB和直角三角形ABN相似,可求AN長度,進(jìn)一步求出OM,運(yùn)用三角函數(shù)求解即可;

3)根據(jù)點(diǎn)D在線段AC上,和線段AC的延長線上分別討論求解;

試題解析:

解:由點(diǎn)A0,2),B1,0),C﹣40)可知:OA=2,OC=4OB=1,

在直角三角形AOC和直角三角形AOB中,根據(jù)勾股定理可求:AC= =2,

AB==

1)在直角三角形AOC和直角三角形AOB中,tanACO=tanBAO=,所以ACO=BAO,

∵∠ACO+CAO=90°

∴∠BAO+CAO=90°,BAC=90°

∴△ABC是直角三角形.

2由(1)知:BAC=90°,BD是圓M的直徑,

DE是圓M的切線,∴∠BDE=90°

∴∠CDE+ADB=90°,又ADB+ABD=90°∴∠CDE=ABD,

∵∠DCE+ABO=90°ABO+BAF=90°,∴∠DCE=BAF

∴△CDE∽△ABF

當(dāng)四邊形ABND為矩形時(shí),∵∠ABN=90°,AN是圓的直徑,由OB是直角三角形ABN的斜邊上的高線,由BAO=BA0BOA=ABN=90°,

∴△AOB∽△ABN,

, AB2=OA×AN,

OA=2AB=,可求:AN=

ON=,OM=MNON=,

在直角三角形OBN中,

tanDBC==

3)若點(diǎn)D 在線段AC上,

如圖2:由CDEABF可得: ,AC=2

,可得:CD=,AD=,

在直角三角形ABD中,由勾股定理可求:BD==,

∵∠CBD=FBOBOF=BDE=90°,

∴△BFO∽△BED

,

設(shè):DE=2x,則BF=3x,由勾股定理得:OF==,

,解得: ,

DE=BF=,DF=BDDF=,

=

若點(diǎn)D在線段AC的延長線上,

如圖3DE是圓M的切線,

∴∠BDE=90°

∴∠EDC+CDB=90°

∵∠ABD+CDB=90°

∴∠EDC=ABD,

∵∠DEB+DBE=90°DBE+OFB=90°

∴∠DEB=OFB,

∴△CDE∽△ABF,可得: ,AC=2

,可得:CD=AD=AC+CD=,

由勾股定理得:BD==

∵∠CBD=FBO,BOF=BDE=90°

∴△BFO∽△BED,

,

設(shè):DE=2x,則BF=3x,

由勾股定理得:OF==

,解得: ,

DE=2x=BF=3x=,DF=BDDF=

=,

綜上所述: 的值是

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