Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，過⊙O上的點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)E，AD⊥EC于點(diǎn)D且交⊙O于點(diǎn)F，連接BC，CF，AC．
（1）求證：BC=CF；
（2）若AD=3，DE=4，求BE的長；
（3）若FD=1，tanE=

2 5

5

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)首先得出CO⊥ED，再利用平行線的判定得出CO∥AD，進(jìn)而利用圓周角、圓心角定理得出BC=CF；
（2）首先求出△EOC∽△EAD，進(jìn)而得出r的長，即可求出BE的長；
（3）過O作OG⊥AF于點(diǎn)G，則G是AF的中點(diǎn)，且OG∥ED，設(shè)AG=2k，則OG=

5

k，OA=3k，求出k的值即可得到圓的半徑．

解答：（1）證明：如圖1，連接OC，
∵ED切⊙O于點(diǎn)C，
∴CO⊥ED，
∵AD⊥EC，
∴CO∥AD，
∴∠OCA=∠CAD，
∵∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠CAD，
∴

BC

=

CF

，
∴BC=CF；
（2）解：在Rt△ADE中，
∵AD=3，DE=4，
根據(jù)勾股定理得AE=5，
∵CO∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴

EO

EA

=

OC

AD

，
設(shè)⊙O的半徑為r，
∴OE=5-r，
∴

r

3

=

5-r

5

，
解得：r=

15

8

，
∴EB=5-2r=

5

4

；
（3）過O作OG⊥AF于點(diǎn)G，則G是AF的中點(diǎn)，且OG∥ED，
∴∠AOG=∠E，
∵tanE=

2 5

5

，
∴tan∠AOG=

2 5

5

，
設(shè)AG=2k，則OG=

5

k，OA=3k，
在矩形OGDC中，GD=0C=3k，∴AD=5k，又AF=2AG=4k，
∴DF=k，
又∵DF=1，
∴k=1，
∴求⊙O的半徑是3．

點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理和圓周角及弧的關(guān)系、垂徑定理的運(yùn)用、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用和銳角三角函數(shù)的運(yùn)用等知識，題目的難度不大，但考查的知識點(diǎn)很寬泛．