已知：關(guān)于x的兩個(gè)方程
2x2+（m+4）x+m-4=0，①
與mx2+（n-2）x+m-3=0，②
方程①有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求證方程②的兩根符號相同；
（2）設(shè)方程②的兩根分別為α、β，若α：β=1：2，且n為整數(shù)，求m的最小整數(shù)值．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可得到判別式△＞0，求得m的范圍，兩根的符號相同即兩根的積是正數(shù)即可．
（2）根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組求其解集即可．
解答：證明：（1）∵方程2x2+（m+4）x+m-4=0兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，
∴設(shè)這兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2
∴
△1＞0
x1+x2＜0
x1•x2＞0
即
(m+4)2-4×2(m-4)＞0
-
m+4
2
＜0
m-4
2
＞0

解不等式組，得m＞4，
由方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可知m≠0，
∴當(dāng)m＞4時(shí)，
m-3
m
＞0，即方程②的兩根之積為正，
∴方程②的兩根符號相同；

解：（2）∵方程②的兩根分別為α、β，且α：β=1：2，
∴β=2α
由
m≠0
α+β=3β=-
n-2
m
①
α•β=2α 2=
m-3
m
②
m≠0
α+β=3α=-
n-2
m
①
α•β=2α 2=
m-3
m
②
把①代入②得
(n-2)2
9m2
=
m-3
2m

∴（n-2）2=
9
2
m（m-3），
由（1）知，m＞4，又m為整數(shù)，
m=6時(shí)，（n-2）2=
9
2
×6×3=81
解得n=11或n=-7
當(dāng)m=6，n=11時(shí)，△1=（n-2）2-4m（m-3）＞0，
當(dāng)m=6，n=-7時(shí)，△2=（n-2）2-4m（m-3）＞0，
∴m的最小整數(shù)值為6．
點(diǎn)評：（1）一元二次方程根的兩根同號的條件是判別式△≥0，且兩根的積大于0，即
c
a
＞0；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到關(guān)于方程兩根的和與積的值，可以用來簡化運(yùn)算．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？
（1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0
方  程 x1 x2 x1+x2 x1．x2
（1）
0
0
2
2
2
2
0
0
（2）
-4
-4
1
1
-3
-3
-4
-4
（3）
2
2
3
3
5
5
6
6
請同學(xué)們仔細(xì)觀察方程的解，你會發(fā)現(xiàn)方程的解與方程中未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間有一定的關(guān)系．
一般的，對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根為x1、x2
則x1+x2=
-p
-p
，x1．x2=
q
q
．
（2）運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2的值為
B
B

A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x1，x2是方程x2-x-3=0的兩根，利用上述結(jié)論，不解方程，求x12+x22的值．

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探究發(fā)現(xiàn)：
解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？
（1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0
方  程 x1 x2 x1+x2 x1•x2
（1）
（2）
（3）
（1）請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn)．
（2）一般的，對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為x1、x2，則x1+x2=
-p
-p
，x1•x2
q
q
．
（3）運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2的值為
B
B

A．-2     B．2     C．-7     D．7
②已知x1，x2是方程x2-x-3=0的兩根，試求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值．

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探究發(fā)現(xiàn)：
解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？
（1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0
方　程x1x2x1+x2x1•x2
（1）
（2）
（3）
（1）請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn)．
（2）一般的，對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為x1、x2，則x1+x2=______，x1•x2______．
（3）運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2的值為______
A．-2　　 B．2　　 C．-7　　 D．7
②已知x1，x2是方程x2-x-3=0的兩根，試求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？
（1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0
方　程x1x2x1+x2x1．x2
（1）________________________
（2）________________________
（3）________________________
請同學(xué)們仔細(xì)觀察方程的解，你會發(fā)現(xiàn)方程的解與方程中未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間有一定的關(guān)系．
一般的，對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根為x1、x2
則x1+x2=______，x1．x2=______．
（2）運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：
①已知一元二次方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2的值為______
A．-2　　 B．2　　 C．-7　　 D．7
②已知x1，x2是方程x2-x-3=0的兩根，利用上述結(jié)論，不解方程，求x12+x22的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：關(guān)于x的方x2-2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
（1）求實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）數(shù)學(xué)公式，求m的值．

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