Question

如圖，經(jīng)過x軸上A（-1，0）、B（3，0）兩點的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）交y軸的正半軸于點C，設(shè)拋物線的頂點為D．
（1）用含a的代數(shù)式表示出點C、D的坐標；
（2）若∠BCD=90°，請確定拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，能否在拋物線上找到另外的點Q，使△BDQ為直角三角形？如果能，請直接寫出點Q的坐標；如不能，說明理由．

Answer 1

解：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：
，
則；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），則：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，則：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
則直線BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可設(shè)直線DQ：y=x+m，則有：
+m=4，m=；
即y=x+；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴點Q（，）；
②∠DBQ=90°，同理可設(shè)直線BQ：y=x+n，
則：+n=0，n=-，
即y=x-；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
∴點Q（-，-）；
綜上可知，存在符合條的Q點，且坐標為：．
分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，即可得到a、b、c的關(guān)系式，進而可得到C、D的坐標．
（2）根據(jù)B、C、D三點坐標，分別表示出BC²、CD²、BD²的值，若∠BCD=90°，則由勾股定理可得BC²+CD²=BD²，從而可求得a的值和拋物線的解析式．
（3）根據(jù)B、D的坐標可得直線BD的解析式，若△BDQ是直角三角形，則有兩種情況需要討論：
①D是直角頂點，此時QD⊥BD，即兩條直線的斜率的積為-1，結(jié)合點D的坐標，即可求得直線QD的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到點Q的坐標；
②B是直角頂點，方法同①．
點評：此題考查了函數(shù)圖象上點的坐標意義、二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、直角三角形的判定等知識，要注意的是（3）題中，由于D、B都有可能是直角頂點，所以一定要分類討論，以免漏解．