Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1.5，點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于P，交過(guò)點(diǎn)A的直線y=-x+n于點(diǎn)C．
（1）求直線AC及拋物線的解析式；
（2）M位于線段AB的什么位置時(shí)，PC最長(zhǎng)，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使S△ABQ=

2

3

S△APB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將A（-1，0）代入y=-x+n，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-

b

2a

=

3

2

，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+2，組成關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C（m，-m-1），得出PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，化成頂點(diǎn)式即可；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸和A的坐標(biāo)，求得B的坐標(biāo)，求得AB，從而求得三角形APB的面積，進(jìn)而求得三角形ABQ的面積，得出Q的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得橫坐標(biāo)，從而求得Q的坐標(biāo)；

解答：解：（1）∵直線y=-x+n過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-1；
∵拋物線y=ax²+bx+2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

3

2

，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2

．
∴拋物線的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如圖，設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m-1）．
∵點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)，
∴-1＜m＜4．
∴PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（m-

5

2

）²+

49

8

，
所以，當(dāng)m=

5

2

時(shí)，PC最長(zhǎng)，此時(shí)P（

5

2

，

21

8

），AM=

7

2

；

（3）存在；
∵拋物線y=ax²+bx+2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=

3

2

，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），
∴B（4，0）
∴AB=5，
∵S_△APB=

1

2

AB•PM=

1

2

×5×

21

8

=

105

16

，
∵S△ABQ=

2

3

S△APB，
∴S_△ABQ=

35

8

，
設(shè)Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為n，
∵S_△ABQ=

1

2

AB•n，
∴n=

2S△ABQ

AB

=

35 4

5

=

7

4

，
∴

7

4

=-

1

2

x²+

3

2

x+2，解得：x=

3+ 11

2

或x=

3- 11

2

，
∴Q（

3+ 11

2

，

7

4

）或（

3- 11

2

，

7

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，平行于坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)之間的距離，一元二次方程的解法，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．