Question

如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）求△BCM面積與△ABC面積的比；
（3）若P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作射線(xiàn)PQ∥AC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線(xiàn)上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以A，P，Q，C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）有拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，則可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x-3）．由與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），則代入易得解析式，頂點(diǎn)易知．
（2）求△BCM面積與△ABC面積的比，由兩三角形不為同高或同底，所以考慮求解求出兩三角形面積再作比即可．因?yàn)镾_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC，S_△ABC=

1

2

•AB•OC，則結(jié)論易得．
（3）由四邊形為平行四邊形，則對(duì)邊PQ、AC平行且相等，過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)易得Q到x軸的距離=OC=3，又（1）得拋物線(xiàn)解析式，代入即得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，則Q點(diǎn)可求．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．

（2）如圖1，連接BC、BM、CM，作MD⊥x軸于D，

∵S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC
=

1

2

•（3+4）•1+

1

2

•2×4-

1

2

•3•3
=

7

2

+

8

2

-

9

2

=3
S_△ABC=

1

2

•AB•OC=

1

2

•4•3=6，
∴S_△BCM：S_△ABC=3：6=1：2．

（3）存在，理由如下：
①如圖2，當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，作QE⊥x軸于E，

∵四邊形ACQP為平行四邊形，
∴PQ平行且相等AC，
∴△PEQ≌△AOC，
∴EQ=OC=3，
∴-3=x²-2x-3，
解得 x=2或x=0（與C點(diǎn)重合，舍去），
∴Q（2，-3）．
②如圖3，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，作QF⊥x軸于F，

∵四邊形ACPQ為平行四邊形，
∴QP平行且相等AC，
∴△PFQ≌△AOC，
∴FQ=OC=3，
∴3=x²-2x-3，
解得 x=1+

7

或x=1-

7

，
∴Q（1+

7

，3）或（1-

7

，3）．
綜上所述，Q點(diǎn)為（2，-3）或（1+

7

，3）或（1-

7

，3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、平行四邊形及坐標(biāo)系中求不規(guī)則圖形面積等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度適中，適合學(xué)生練習(xí)．