Question

8．如圖，一次函數(shù)y=-2x的圖象與二次函數(shù)y=-x²+3x圖象的對稱軸交于點B．
（1）寫出點B的坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，-3）；
（2）將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸于點C、交y軸于點D，點A是該拋物線與該動直線的一個公共點，試求當(dāng)△AOB的面積取最大值時，點C的坐標(biāo)；
（3）已知點P是二次函數(shù)y=-x²+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個動點，若△PCD的外接圓直徑為PC，試問：以P、C、D為頂點的三角形與△COD能否相似？若能，請求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只需先求出拋物線的對稱軸方程，就可求出點B的坐標(biāo)；
（2）如圖1，由題意可設(shè)直線的解析式為y=-2x+b，要使△AOB的面積最大，只需直線DC與拋物線相切，由此可求出b的值，就可解決問題；
（3）過點P作PH⊥y軸，如圖2．由題意可設(shè)直線的解析式為y=-2x+b，從而可得OC=$\frac{2}$，OD=b，DC=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$．由△PCD的外接圓直徑為PC可得∠PDC=90°，易證△PHD∽△DOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{PD}{DC}$．然后分兩種情況討論（①△PDC∽△DOC，②若△PDC∽△COD），用b的代數(shù)式表示出點P的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式，求出b，即可得到點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線y=-x²+3x的對稱軸為x=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，y=-2x=-2×$\frac{3}{2}$=-3，
則點B的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-3）．
故答案為（$\frac{3}{2}$，-3）；

（2）如圖1，
設(shè)直線DC的解析式為y=-2x+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=-{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，
消去y并整理得，
x²-5x+b=0，
當(dāng)直線y=-2x+b與拋物線y=-x²+3x相切時，
△=（-5）²-4×1×b=25-4b=0，
解得b=$\frac{25}{4}$，
此時直線DC的解析式為y=-2x+$\frac{25}{4}$，
令y=0，可得x=$\frac{25}{8}$，
∴△AOB的面積最大時，點C的坐標(biāo)為（$\frac{25}{8}$，0）；

（3）過點P作PH⊥y軸，如圖2．
設(shè)直線的解析式為y=-2x+b，
則有C（$\frac{2}$，0），D（0，b），
從而可得OC=$\frac{2}$，OD=b，DC=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$．
∵△PCD的外接圓直徑為PC，
∴∠PDC=90°，
∴∠PDH+∠ODC=90°．
∵∠DOC=90°，
∴∠OCD+∠ODC=90°，
∴∠PDH=∠OCD．
∵∠PHD=∠DOC=90°，
∴△PHD∽△DOC，
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{PD}{DC}$．
①若△PDC∽△DOC，
則有$\frac{DP}{DC}$=$\frac{OD}{OC}$=2．
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=2，
∴PH=2DO=2b，DH=2CO=b，
∴OH=b+b=2b，
∴點P的坐標(biāo)為（2b，2b）．
∵點P在拋物線y=-x²+3x上，
∴2b=-（2b）²+3×（2b），
解得：b₁=0（舍去），b₂=1，
∴點P的坐標(biāo)為（2，2）；
②若△PDC∽△COD，
則有$\frac{DP}{DC}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{2}$b，DH=$\frac{1}{2}$CO=$\frac{1}{4}$b，
∴OH=b+$\frac{1}{4}$b=$\frac{5}{4}$b，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$b，$\frac{5}{4}$b）．
∵點P在拋物線y=-x²+3x上，
∴$\frac{5}{4}$b=-（$\frac{1}{2}$b）²+3×（$\frac{1}{2}$b），
解得：b₁=0（舍去），b₂=1，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
綜上所述：點P的坐標(biāo)為（2，2）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題主要考查了拋物線的頂點、對稱軸、拋物線上點的坐標(biāo)特征、直線上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、解一元二次方程、勾股定理等知識，運用分類討論和構(gòu)造K型相似是解決第（3）小題的關(guān)鍵．