Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H的直線m交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P位于第二象限，點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)．

（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若∠PBA=∠OBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上，則以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣1，﹣3）（2）P（﹣， ）；（3）（﹣2﹣1，1）．

【解析】（1）拋物線的解析式為y=（x+4）（x﹣2），然后利用配方法可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在x軸上點(diǎn)E（﹣2，0），連接CE，并延長(zhǎng)CE交PB與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．首先證明EF=EB=4，然后證明△FGE∽△COE，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到FG=，EG=，故可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后可求得BP的解析式，最后可求得直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（3）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點(diǎn)N坐標(biāo)，列出方程求出k，即可解決問(wèn)題．

解：（1）∵y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，

∴y=（x+4）（x﹣2）=（x2+2x﹣8）=（x+1）2﹣3．

∴D（﹣1，﹣3）．

（2）如圖1，在x軸上點(diǎn)E（﹣2，0），連接CE，并延長(zhǎng)CE交PB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸，垂足為G．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴∠OBC=∠OEC．

∴∠OBC=∠GEF．

∵∠PBA=∠OBC，

∴∠PBA=∠EFB．∴EF=EB=4．

∵OE=2，OC=，∴EC=．

∵GF∥OC，∴△FGE∽△COE．

∴==，即==，

解得：FG=，EG=，

∴F（﹣， ）．

設(shè)BP的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)F和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=﹣，b=1，

∴直線BP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1與y=x2+x﹣聯(lián)立，

解得：x=﹣，x=2（舍去），

∴y=．

∴P（﹣， ）；

（3）設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過(guò)點(diǎn)H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由得： x2+（﹣k）﹣﹣k=0

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∵點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，

∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式的點(diǎn)M（k﹣1， k2）．

假設(shè)存在這樣的N點(diǎn)如圖2，

直線DN∥PQ，設(shè)直線DN的解析式為y=kx+k﹣3由，

解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，

∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．

∵四邊形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（）2+k2+3）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=±，

∵k＜0，

∴k=﹣，

∴P（﹣3﹣1，6），M（﹣﹣1，2），N（﹣2﹣1，1）．

∴PM=DN=2，

∵PM∥DN，

∴四邊形DMPN是平行四邊形，

∵DM=DN，

∴四邊形DMPN為菱形，

∴以DP為對(duì)角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2﹣1，1）．

“點(diǎn)睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求得點(diǎn)F的坐標(biāo)是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵.