Question

在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3），將三角板的直角頂點(diǎn)與P重合，一條直角邊與x軸交于點(diǎn)E，另一條直角邊與y軸交于點(diǎn)F，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)△POE為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)E（t，0），PF、PE與正方形ABCD所夾面積（陰影面積）為S，直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀”以及等腰三角形的性質(zhì)解答．
（2）四邊形PECD的面積為S=S_{正方形OMPN}．

解答：解：（1）△POE是等腰三角形的條件是：OP、PE、EO其中兩段相等，P（3，3），那么有：
①PE⊥OC和F點(diǎn)過(guò)（0，0）點(diǎn)，PE=OE，
則F點(diǎn)是（0，3）和（0，0）；
∵P坐標(biāo)為（3，3），
∴OP=3

2

，
②PE⊥OP和F點(diǎn)過(guò)（0，6-3

2

），
則PE=OP，
則F點(diǎn)是（0，6+3

2

）和（0，6-3

2

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是：（0，3）或（0，0）或（0，6-3

2

）或（0，6+3

2

）；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，垂足為M，PN⊥OA于點(diǎn)N，
則△PFN≌△PEM．
∴PN=PM，
∴四邊形OMPN是正方形，
∵E（t，0），
∴OE=t．
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，3），
∴PM=3，OM=3，
∴四邊形PECD的面積為S=PN²=9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理和等邊直角三角形的性質(zhì)．