Question

已知：點G、F分別是等腰△ABC、等邊△ADE底邊的中點，∠BAC=∠DAE=∠α，點P是線段CD的中點．
（1）如圖一，當D和E分別在AB和AC邊上時，請直接寫出∠GPF與∠α的關系．（無需證明）
（2）當△ADE繞過點A旋轉到如圖二的位置時，（1）問中的關系是否成立？如果成立請證明．如果不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,等腰三角形的性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）由AB=AC、AD=AE，得BD=CE，再根據(jù)G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，可得出PG∥BD，PF∥CE．則∠GPF=180°-∠α；
（2）連接BD，連接CE，由已知可證明△ABD≌△ACE，則∠ABD=∠ACE．因為G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，則PG∥BD，PF∥CE．進而得出∠GPF=180°-∠α．

解答：解：（1）∠GPF=180°-∠α；
理由：∵AB=AC、AD=AE，∴BD=CE，
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，
∴PG∥BD，PF∥CE．
∴∠ADC=∠DPG，∠DPF=∠ACD，
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠ADC+∠ACD=180°-∠BAC=180°-∠α，
即∠GPF=180°-∠α；

（2）∠GPF=180°-∠α．
理由：連接BD，連接CE．
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE．
∵G、P、F分別是BC、CD、DE的中點，
∴PG∥BD，PF∥CE．∴∠PGC=∠CBD，∠DPF=∠DCE=∠DCA+∠ACE=∠DCA+∠ABD，
∠DPG=∠PGC+∠BCD=∠CBD+∠BCD，
∠GPF=∠DPF+∠DPG=∠DCA+∠ABD+∠CBD+∠BCD=180°-∠BAC=180°-∠α，
即∠GPF=180°-∠α．

點評：本題主要考查旋轉的性質和全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質等知識，是一個變式訓練題，難度偏大．