Question

4．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC垂足分別為E、F．
（1）求證：BE=BF；
（2）若△ABC的面積為70，AB=16，DE=5，則BC=12．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的對稱性直接證明△DBE≌△DBF即可；
（2）先算出三角形ABD的面積，再得出三角形BCD的面積，高DF=DE=5，從而直接算出BC．

解答 （1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠BFD=90°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵BD=BD，
∴△DBE≌△DBF，
∴BE=BF；
（2）解：∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=5，
∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB•DE=40$，
∴${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}BC•DF$=70-40=30，
∴BC=12．
故答案為12．

點評 本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、面積法求線段長度，難度中等．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．