Question

1．在△BCD中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在DC的延長線上，且CE=CF，BC=DF，
（1）如圖1，當(dāng)∠BCD=90°，G點(diǎn)為EF的中點(diǎn)時(shí)，連DG、BG，求證：BG⊥DG；
（2）如圖2，當(dāng)∠BCD=60°，F(xiàn)G∥CE，且FG=CE時(shí)，連接DG．求∠BDG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接CG，根據(jù)等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，結(jié)合鄰補(bǔ)角可證∠BEG=∠DCG，進(jìn)一步論證△BGE≌△DCG即可求解；
（2）連接CG，EG，BG，根據(jù)已知可證四邊形GFCE是菱形，求出∠CGE=60°，∠ECG=60°，∠GCF=60°結(jié)合（1）中思路證明三角形全等即可求解．

解答 解：（1）如圖1

連接CG，
由∠BCD=90°，G點(diǎn)為EF的中點(diǎn)，CE=CF易證：CG⊥EF，CG=GE，∠CEG=45°，∠GCF=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
∵CE=CF，BC=DF，
∴BE=CD，
在△BGE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=GE}\\{∠BEG=∠DCG}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△DCG，
∴∠DGC=∠BGE，
∴∠BGD=∠CGE=90°，
∴BG⊥DG．
（2）如圖2

連接CG，EG，BG，
∵FG∥CE，且FG=CE，
∴四邊形GFCE是平行四邊形，
∵CF=CE，
∴平行四邊形GFCE是菱形，
∴CE=EG，
由∠BCD=60°，可證三角形CGE為等邊三角形，
∴∠CGE=60°，∠ECG=60°，∠GCF=60°，
∴∠BEG=∠DCG=120°，
在在△BGE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=GE}\\{∠BEG=∠DCG}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△DCG，
∴∠DGC=∠BGE，BG=GD，
∴∠BGD=∠CGE=60°，
∴三角形BGD為等邊三角形，
∴∠BDG=60°．

點(diǎn)評 此題主要考查三角形和四邊形的綜合運(yùn)用，熟悉三角形全等的證明，菱形的判定方法和性質(zhì)的靈活運(yùn)用；會推理等邊三角形并適當(dāng)運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．