Question

如圖，已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，D是OA延長線上的一點(diǎn)，連接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）求陰影部分的面積．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定；扇形面積的計算．

【專題】計算題．

【分析】（1）連結(jié)OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，則利用三角形內(nèi)角和可計算出∠OCD=90°，所以O(shè)C⊥CD，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷CD為⊙O的切線；

（2）先判斷△AOC為等邊三角形，則OA=AC=4，然后根據(jù)扇形面積公式和等邊三角形的面積公式，利用S_陰影部分=S_扇形AOC﹣S_△OAC進(jìn)行計算．

【解答】解：（1）直線CD為⊙O的切線．理由如下：

連結(jié)OC，如圖，

則∠AOC=2∠B=60°，

∵∠D=30°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD為⊙O的切線；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△AOC為等邊三角形，

∴OA=AC=4，

∴S_陰影部分=S_扇形AOC﹣S_△OAC

=﹣•4²

=π﹣4．

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了扇形面積公式．