【題目】【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SSS”“ASA”、“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對(duì)兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:在△ABC△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,對(duì)∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況:當(dāng)∠B是直角時(shí),△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF∠B=∠E=90°,根據(jù)   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時(shí),△ABC≌△DEF

如圖,在△ABC△DEF,AC=DFBC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是鈍角,請(qǐng)你證明:△ABC≌△DEF(提示:過(guò)點(diǎn)CCG⊥ABAB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)FFH⊥DEDE的延長(zhǎng)線于H).

第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時(shí),△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是銳角,請(qǐng)你利用圖,在圖中用尺規(guī)作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

【答案】1HL;(2)詳見(jiàn)解析;(3DEFABC不全等,圖見(jiàn)解析.

【解析】試題分析

1)由題意可知,此時(shí)得到:Rt△ABC≌Rt△DEF的依據(jù)是“HL”;

2如圖,分別過(guò)點(diǎn)CCG⊥ABAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)FFH⊥DEDE的延長(zhǎng)線于H,然后先用“AAS”證△CBG≌△FEH,接著用“HL”證Rt△ACG≌Rt△DFH最后用“AAS”證△ABC≌△DEF即可;

3)在圖3中以點(diǎn)C為圓心,CA為半徑作弧交AB于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)E和點(diǎn)B重合,點(diǎn)F和點(diǎn)C重合,則圖中的△ABC和△DEF滿足題目中的條件,但很明顯,此時(shí)兩個(gè)三角形并不全等.

試題解析

1△ABC△DEFAC=DFBC=EF,∠B=∠E=90°

∴Rt△ABC≌Rt△DEFHL.

即此時(shí)判定兩三角形全等的依據(jù)是HL

2)如圖,過(guò)點(diǎn)CCG⊥ABAB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)FFH⊥DEDE的延長(zhǎng)線于H,

∵∠ABC=∠DEF,且∠ABC、∠DEF都是鈍角,

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF

∠CBG=∠FEH,

CBGFEH中, ,

∴△CBG≌△FEHAAS),

∴CG=FH,

RtACGRtDFH中, ,

∴Rt△ACG≌Rt△DFHHL),

∴∠A=∠D,

ABCDEF中,

∴△ABC≌△DEFAAS);

3)如圖,△DEF△ABC,AC=DFBC=EF,∠B=∠E滿足了題目中的條件,但很明顯,它們不全等.

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(2)矩形ABCD為“格線四邊形”,其長(zhǎng):寬=2:1,求矩形ABCD的寬.(可用備用圖)

(3)如圖1,EG過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D且垂直l1于點(diǎn)E,分別交l2l4于點(diǎn)F,G.將∠AEG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到∠AED′(如圖2),點(diǎn)D′在直線l3上,以AD′為邊在ED′左側(cè)作菱形ABCD′,使B′,C′分別在直線l2l4上,求菱形ABCD′的邊長(zhǎng).

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