Question

如圖，已知AB⊥MN，垂足為點B，P是射線BN上的一個動點，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，點C到MN的距離為線段CD的長．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）在點P的運動過程中，點C到MN的距離是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數(shù)式表示這段距離；如果不發(fā)生變化，請求出這段距離．

Answer 1

分析：（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，可以證明△ABP∽△CAP，根據(jù)相似比得出；
（2）C到MN的距離，即CD的長，可以延長CA交直線MN于點E，證得△EPC為等腰三角形，于是點A是EC的中點，則AB為△ECD的中位線，由三角形中位線定理求得CD=2AB=8．

解答：解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，
∴∠ABP=∠CAP=90°．
又∵∠ACP=∠BAP，
∴△ABP∽△CAP．
∴

BP

AP

=

AP

CP

．
即

x

x2+42

=

x2+42

y

，
∴所求的函數(shù)解析式為y=x+

16

x

（x＞0）；

（2）CD的長不會發(fā)生變化．
解法一：如圖1，延長CA交直線MN于點E．
∵AC⊥AP，
∴∠PAE=∠PAC=90°．
∵∠ACP=∠BAP，
∴∠APC=∠APE．
∴∠AEP=∠ACP．
∴PE=PC．
∴AE=AC．
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD．
∴AB是△ECD的中位線，
∵AB=4，
∴CD=2AB=8．
解法二：如備用圖，過點C作CE⊥BA延長線于點E，AF⊥PC于點F．證出AE=AF=AB，于是CD=2AB=8．

點評：本題難度較大，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．