Question

11．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，點E從點B出發(fā)，以某一速度沿折線BA-AD-DC向點C勻速運動；點F從點C出發(fā)，以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，點E、F同時出發(fā)同時停止．設(shè)運動時間為t秒時，△BEF的面積為y，已知y與t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示．請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
（1）點E運動到A、D兩點時，y的值分別是7和4；
（2）求BC和CD的長；
（3）求點E的運動速度；
（4）當(dāng)t為何值時，△BEF與梯形ABCD的面積之比為1：3？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖2可以得到OM表示E在BA段，MN表示E在AD段，NP表示E在DC段，據(jù)此即可判斷；
（2）根據(jù)E在A點和D點時，△EBF的面積分別是7和4，利用面積公式即可得到關(guān)于CD和BC的方程組，即可求得BC和CD的長；
（3）根據(jù)兩個點的運動時間以及（2）中求得的運動距離，即可求得運動的速度；
（4）首先求得梯形ABCD的面積，當(dāng)E在AB上時，過點E作EH⊥BC于點H，△EBH∽△ABG，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可得到關(guān)于時間的方程，從而求解．

解答 解：（1）點E運動到A、D兩點時，在圖2中對應(yīng)的點是M，N兩點，則對應(yīng)的值是：7和4；
故答案為：7，4；

（2）當(dāng)t=2.5秒時，△EBF的面積為y=$\frac{1}{2}$•（BC-CF）•CD=7，
即：$\frac{1}{2}$（BC-$\frac{5}{2}$）•CD=7，
當(dāng)t=4秒時，△EBF的面積為y=$\frac{1}{2}$•（BC-CF）•CD=4，
即：$\frac{1}{2}$（BC-4）•CD=4．
∴CD=4，BC=6；

（3）∵BC=6，點F的速度是每秒1個單位，
∴BC=6，
∴點E從D運動到C用時為6-4=2秒，
又∵CD=4，
∴點E的運動速度為每秒2個單位；

（4）∵k=2，
∴AD=3，AB=5，
∴S_△EBF=6，S_梯形ABCD=18，
由題意可知運動過程中有兩個時刻△EBF的面積等于6，
①當(dāng)E在AB上時，過點E作EH⊥BC于點H，過A作AG⊥BC于G，
∴EH∥AG，
∴△EBH∽△ABG，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{EH}{AG}$，
∴EH=$\frac{8}{5}$t，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$t×（6-t）=6，解得t=$\frac{6±\sqrt{6}}{2}$，
∵t≤2.5．
∴t=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$
②當(dāng)E在AD上時，$\frac{1}{2}$×4×（6-t）=6，解得t=3．
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$或t=3秒時，△EBF與梯形ABCD的面積之比為1：3．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的識別圖形，正確利用題目中的圖形的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成方程問題求解是關(guān)鍵．