Question

如圖，平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，點(diǎn)P從O沿OB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，P，Q同時(shí)出發(fā)，速度都是1cm/s．
（1）求經(jīng)過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）判斷P，Q移動(dòng)幾秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形；
（3）若允許P點(diǎn)越過(guò)B點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)越過(guò)C點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)線PQ與OB，BC，DC圍成的圖形面積為y（cm²），點(diǎn)P，Q的移動(dòng)時(shí)間為t（s），請(qǐng)寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OB于M，
∵平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，
∴OD=BC=6cm，
∴OM=DM=OD•sin45°=6×=3，
∴D（3，3），B（8，0），
設(shè)經(jīng)過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x-8），
將D的坐標(biāo)代入得：3=3a•（3-8），
解得：a=-，
∴y=-x（x-8）；

（2）∵∠PBQ=180°-∠DOB=135°，
∴若△PBQ為等腰三角形，則PB=BQ．
設(shè)P，Q移動(dòng)t秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形，
∴P點(diǎn)走過(guò)的路程為t，Q點(diǎn)走過(guò)的路程為t，
∴PB=OB-t=8-t（cm），BQ=tcm．
若PB=BQ，
則8-t=t，
解得：t=4（s）．
∴P，Q移動(dòng)4秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形；

（3）如圖：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OB于M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB于N，交CD于H，
∵四邊形OBCD是平行四邊形，
∴CD=OB=8cm，BC=OD=6cm，CD∥OB，HN=DM=3cm，
∴PH⊥CD，△CPH∽△BPN，
∴，
由題意得：PC=14-t（cm），PB=t-8（cm），CQ=t-6（cm），
∴，
解得：PH=（14-t），
∴y=S_?OBCD-S_△CPQ=8×3-（t-6）×（14-t）=t²-5t+45，
∵P點(diǎn)越過(guò)B點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)越過(guò)C點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，
∴8＜t≤14，
∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為y=t²-5t+45，t的取值范圍為8＜t≤14．
分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)D作DM⊥OB于M，由平行四邊形OBCD中，OB=8cm，BC=6cm，∠DOB=45°，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后設(shè)經(jīng)過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=ax（x-8），利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過(guò)O，B，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)可得∠PBQ=180°-∠DOB=135°，所以若△PBQ為等腰三角形，則PB=BQ．然后設(shè)P，Q移動(dòng)t秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形，即可方程：8-t=t，解此方程即可求得答案；
（3）首先根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得PH的長(zhǎng)，又由y=S_?OBCD-S_△CPQ，即可求得y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，由P點(diǎn)越過(guò)B點(diǎn)在BC上運(yùn)動(dòng)，Q點(diǎn)越過(guò)C點(diǎn)在CD上運(yùn)動(dòng)，即可求得t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及多邊形面積的求解方法等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．