Question

在平面直角坐標系內，反比例函數和二次函數y=k（x²+x-1）的圖象交于點A（1，k）和點B（-1，-k）．
（1）當k=-2時，求反比例函數的解析式；
（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當k=-2時，即可求得點A的坐標，然后設反比例函數的解析式為：y=，利用待定系數法即可求得答案；
（2）由反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，可得k＜0，又由二次函數y=k（x²+x-1）的對稱軸為x=-，可得x＜-時，才能使得y隨著x的增大而增大；
（3）由△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q（-，-k），A（1，k），即可得=，繼而求得答案．
解答：解：（1）當k=-2時，A（1，-2），
∵A在反比例函數圖象上，
∴設反比例函數的解析式為：y=，
代入A（1，-2）得：-2=，
解得：m=-2，
∴反比例函數的解析式為：y=-；

（2）∵要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，
∴k＜0，
∵二次函數y=k（x²+x-1）=k（x+）²-k，對稱軸為：直線x=-，
要使二次函數y=k（x²+x-1）滿足上述條件，在k＜0的情況下，x必須在對稱軸的左邊，
即x≤-時，才能使得y隨著x的增大而增大，
∴綜上所述，k＜0且x≤-；

（3）由（2）可得：Q（-，-k），
∵△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形，A點與B點關于原點對稱，（如圖是其中的一種情況）
∴原點O平分AB，
∴OQ=OA=OB，
作AD⊥OC，QC⊥OC，
∴OQ==，
∵OA==，
∴=，
解得：k=±．
點評：此題考查了二次函數的性質、反比例函數的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握待定系數法求函數解析式，注意數形結合思想的應用．