Question

如圖，在△ABC中，AC=BC=5，∠C=90°，在平面內(nèi)，△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，對(duì)應(yīng)得△AB′C′，以B′C′為直徑的圓第一次與直線AB相切時(shí)，sinα=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：設(shè)圓心為O，切點(diǎn)為D，連接OD，OA，可得OD⊥AB，再根據(jù)∠C′=∠ODA=90°，得到AC′與圓O相切，利用HL得到三角形AOC′與三角形AOD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到∠OAC′=∠OAD=

1

2

∠C′AB=

1

2

（α+45°），AC′=AD，利用銳角三角函數(shù)定義求出sin∠OAD與cos∠OAD的值，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin（α+45°）與cos（α+45°）的值，根據(jù)sinα=sin[（α+45°）-45°]，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：設(shè)圓心為O，切點(diǎn)為D，連接OD，OA，可得OD⊥AB，
在Rt△AOC′和Rt△AOD中，

AO=AO OC′=OD

，
∴Rt△AOC′≌Rt△AOD（HL），
∴∠OAC′=∠OAD=

1

2

∠C′AB=

1

2

（α+45°），AC′=AD，
在Rt△AOD中，OD=2.5，AD=AC′=5，
根據(jù)勾股定理得：OA=

AD2+OD2

=

5 5

2

，
∴sin∠OAD=

OD

OA

=

5

5

，cos∠OAD=

AD

OA

=

2 5

5

，
∴sin（α+45°）=sin∠C′AB=sin2∠OAD=2sin∠OADcos∠OAD=

4

5

，cos（α+45°）=cos∠C′AB=cos2∠OAD=cos²∠OAD-sin²∠OAD=

3

5

，
∴sinα=sin[（α+45°）-45°]=sin（α+45°）cos45°-cos（α+45°）sin45°=

2

2

×（

4

5

-

3

5

）=

2

10

．
故答案為：

2

10

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．