Question

（2010•東陽市模擬）已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使得A、B、O、C四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）試問在拋物線上是否存在著點(diǎn)P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與對稱軸相交？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程可確定b的值，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可確定c的值，從而得到該拋物線的解析式．
（2）此題應(yīng)分兩種情況考慮：
①AB∥OC，易求得直線AB的解析式，即可確定直線OC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②AC∥OB，參照①的解題思路，先求出直線OB的解析式，進(jìn)而可確定直線AC的解析式，再聯(lián)立拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）由于⊙P半徑為3，且與x軸相切，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值為3，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．此時(shí)根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)、⊙P的半徑以及拋物線的對稱軸方程，可先確定拋物線對稱軸與⊙P的位置關(guān)系，若相交，即可由垂徑定理和勾股定理求得弦EF的長度．
解答：解：（1）由題意得，
∴b=4、c=4，
∴y=-x²+4x+4．（3分）

（2）y=-（x-2）²+8，B（2，8），
①AB∥OC時(shí)，直線AB：y=2x+4，則CO為y=2x；（1分）

解得，
∴，（2分）
②AC∥OB時(shí)，直線OB：y=4x，則AC為y=4x+4；

解得，
∴C（0，4），與點(diǎn)A重合，舍去．（1分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，
y=-x²+4x+4=3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₁（2+，3），P₂（2-，3）；
此時(shí)P到對稱軸直線x=2的距離為＜3，
即⊙P與對稱軸相交．（2分）
對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度為4．（2分）
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，y=-x²+4x+4=-3，
解得x₁=2+，x₂=2-，
P₃（2+，-3），P₄（2-，-3）
此時(shí)P到對稱軸直線x=2的距離為＞3，
即⊙P與對稱軸不相交．（1分）
其他解法相應(yīng)給分．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、切線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，綜合性強(qiáng)，難度中上．