如圖,拋物線y=
3
18
x2-
13
3
18
x+2
3
與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,△ACD為等邊三角形,以DC為半徑的⊙D與y軸的另一交點(diǎn)為E.
(1)求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求△CDE的面積;
(3)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn),點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn).若以P、Q、D、B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo).
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)設(shè)y=0,則函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠蹋夥匠碳纯汕蟪鳇c(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)連結(jié)AE,作DF⊥CE于點(diǎn)F.則CF=
1
2
CE.在Rt△AOC中,利用勾股定理求出AC的長,進(jìn)而得到AE,OE,CF的長,再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可;
(3)分兩種情況考慮,Q在第一象限,以及第四象限,利用平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求出Q坐標(biāo)即可.
解答:解:(1)當(dāng)y=0時(shí),0=
3
18
x2-
13
3
18
x+2
3

整理得,x2-13x+36=0,
解得x1=4,x2=9,
∴A(4,0)、B(9,0);   
                               
(2)連結(jié)AE,作DF⊥CE于點(diǎn)F.則CF=
1
2
CE.
當(dāng)x=0時(shí),y=2
3
,
∴C(0,2
3
),
∴OC=2
3

∵OA=4,
在Rt△AOC中,AC=
AO2+OC2
=
16+12
=2
7

∵△ACD為等邊三角形,
∴∠CDA=60°,
∴∠AEC=
1
2
∠CDA=30°.
∴AE=2OA=8.
在Rt△AOE中,OE=
EA2-OA2
=
82-42
=4
3
,
∴CE=OE-OC=2
3

∴CF=
1
2
CE=
3

在Rt△CDF中,DF=
CD2-CF2
=
28-3
=5

S△CDE=
1
2
CE×DF=
1
2
×2
3
×5=5
3


(3)存在,
分兩種情況考慮:
當(dāng)Q在第一象限時(shí),若四邊形PQDB為平行四邊形,
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=6.5,
∴Q橫坐標(biāo)為10.5或2.5,
當(dāng)Q在第四象限時(shí)Q的橫坐標(biāo)為7.5,
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為10.5、7.5或2.5.
點(diǎn)評(píng):此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:拋物線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題,平行四邊形的性質(zhì),勾股定理的運(yùn)用,三角形面積公式的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想,分類討論時(shí)注意考慮問題要全面.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若x+t=3,y-5=t,則x,y之間的關(guān)系是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,Rt△ABO中,∠ABO=90°,AC=3BC,D為OA中點(diǎn),反比例函數(shù)經(jīng)過C、D兩點(diǎn),若△ACD的面積為3,則反比例函數(shù)的解析式為(  )
A、y=
2
x
B、y=-
2
x
C、y=
4
x
D、y=-
4
x

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直角坐標(biāo)系中,菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C、D在坐標(biāo)軸上,二次函數(shù)y1=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A、C、D,且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).
(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A(
 
 
)、B(
 
,
 
);
(2)求a、b的值;
(3)若過A、B兩點(diǎn)的直線與y軸相交于點(diǎn)E,P點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的平行線與直線AB相交于點(diǎn)F.是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)C、E、P、F構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)又知直線AB與二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為G(5,-
28
3
),Q點(diǎn)為拋物線上A、G兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△QAG的面積最大時(shí),直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y=2x2-8x+6的頂點(diǎn)為A,如圖.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是
 
;
(2)若點(diǎn)C是直線y=2x(x>0)上的一個(gè)點(diǎn),沿射線OC將拋物線平移2
5
個(gè)單位,求出頂點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P是拋物線y=2x2-8x+6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)是否存在這樣的點(diǎn)P,使過點(diǎn)P、A、B不能畫出拋物線?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式組:
x+1<3x-3   ①
1
2
(x-4)<
1
3
(x-4)  ②

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:
(1)4
5
+
45
-
8
+4
2
;
(2)(2
3
-3
2
)(2
3
+3
2
)-(2
3
-3
2
2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=-
3
4
x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原來的速度沿BO返回.點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長度,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也同時(shí)停止.連結(jié)PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)(未到達(dá)點(diǎn)B),是否存在實(shí)數(shù)t,使得△BPQ的面積大于17若存在,請(qǐng)求出t的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)伴隨著P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),線段PQ的垂直平分線為直線l.是否存在t的值,使得直線l經(jīng)過點(diǎn)O?若存在,請(qǐng)求出所有t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算題
(1)(-1)2012+(π-3.14)0-(-
1
3
-1
(2)化簡求值:(2x+y)2-(2x-y)(x+y)-2(x-2y)(x+2y),其中x=
1
2
,y=-2.

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