已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M精英家教網(wǎng).問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
注:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(-
b
2a
,
4ac-b2
4a
)
,對稱軸公式為x=-
b
2a
分析:(1)可在直角三角形BOA中,根據(jù)AB的長和∠AOB的度數(shù),求出OA的長.根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:OC=OA,∠COA=60°,過C作x軸的垂線,即可用三角形函數(shù)求出C點的坐標(biāo);
(2)根據(jù)(1)求出的A,C點的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;
(3)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì),如果過M,P兩點分別作底的垂線ME和PQ,那么CE=PQ,可先設(shè)出此時P點的坐標(biāo),然后表示出M點的坐標(biāo),CE就是C點縱坐標(biāo)與M點縱坐標(biāo)的差,QD就是P點縱坐標(biāo)和D點縱坐標(biāo)的差.由此可得出關(guān)于P點橫坐標(biāo)的方程,可求出P點的橫坐標(biāo),進而可求出P點的坐標(biāo).
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過點C作CH⊥x軸,垂足為H
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2
∴OB=4,OA=2
3

由折疊知,∠COB=30°,OC=OA=2
3

∴∠COH=60°,OH=
3
,CH=3
∴C點坐標(biāo)為(
3
,3);

(2)∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C(
3
,3)、A(2
3
,0)兩點,
3=(
3
)2a+
3
b
0=(2
3
)2a+2
3
b
,
解得:
a=-1
b=2
3
,
∴此拋物線的解析式為:y=-x2+2
3
x.
解法一:(3)存在.
因為y=-x2+2
3
x
的頂點坐標(biāo)為(
3
,3)
所以頂點坐標(biāo)為點C(8分)
作MP⊥x軸,垂足為N,
設(shè)PN=t,因為∠BOA=30°,
所以O(shè)N=
3
t
∴P(
3
t,t)(9分)
作PQ⊥CD,垂足為Q,ME⊥CD,垂足為E
x=
3
t代入y=-x2+2
3
x

得:y=-3t2+6t
∴M(
3
t,-3t2+6t),E(
3
,-3t2+6t)(10分)
同理:Q(
3
,t),D(
3
,1)
要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需CE=QD(這時△PQD≌△MEC)
即3-(-3t2+6t)=t-1,解得:t1=
4
3
,t2=1(不合題意,舍去)(11分)
∴P點坐標(biāo)為(
4
3
3
,
4
3
)(12分)
∴存在滿足條件的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時P點的坐為(
4
3
3
,
4
3
);
解法二:

(3)存在.
由(2)可得:y=-x2+2
3
x
=-(x-
3
)2+3
得頂點坐標(biāo)為(
3
,3),
即點C恰好為頂點;(8分)
設(shè)MP交x軸于點N,
∵MP∥y軸,CH為拋物線的對稱軸
∴MP∥CD且CM與DP不平行
∴四邊形CDPM為梯形
若要使四邊形CDPM為等腰梯形,只需∠MCD=∠PDC
由∠PDC=∠ODH=90°-∠DOA=60°,則∠MCD=60°
又∵∠BCD=90°-∠OCH=60°,
∴∠MCD=∠BCD,
∴此時點M為拋物線與線段CB所在直線的交點(9分)
設(shè)BC的解析式為y=mx+n
由(2)得C(
3
,3)、B(2
3
,2)
3=
3
m+n
2=2
3
m+n

解得:
m=-
3
3
n=4

∴直線BC的解析式為y=-
3
3
x+4
(10分)
y=-x2+2
3
x
y=-
3
3
x+4

x1=
4
3
3
,x2=
3

∴ON=
4
3
3
(11分)
在Rt△OPN中,tan∠PON=
PN
ON
PN=
4
3

∴P點坐標(biāo)為(
4
3
3
,
4
3
)(12分)
∴存在滿足條件的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形,此時P點的坐標(biāo)為(
4
3
3
,
4
3
).
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形翻折變換、三角形全等、等腰梯形的性質(zhì)等重要知識點,綜合性強,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA所在直精英家教網(wǎng)線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過C、A兩點,求此拋物線的解析式;
(3)若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D,點P為線段DB上一動點,過P作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:是否存在這樣的點P,使得四邊形CDPM為等腰梯形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•武漢模擬)已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,以O(shè) 為原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi),將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求點C的坐標(biāo)和過O、C、A三點的拋物線的解析式;
(2)P是此拋物線的對稱軸上一動點,當(dāng)以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出點P的坐標(biāo);
(3)M(x,y)是此拋物線上一個動點,當(dāng)△MOB的面積等于△OAB面積時,求M的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•六盤水)已知.在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=2
3
,若以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi),將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
(1)求經(jīng)過點O,C,A三點的拋物線的解析式.
(2)求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標(biāo).
(3)線段OB與拋物線交與點E,點P為線段OE上一動點(點P不與點O,點E重合),過P點作y軸的平行線,交拋物線于點M,問:在線段OE上是否存在這樣的點P,使得PD=CM?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:第34章《二次函數(shù)》?碱}集(23):34.4 二次函數(shù)的應(yīng)用(解析版) 題型:解答題

已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,點B在第一象限內(nèi).將Rt△OAB沿OB折疊后,點A落在第一象限內(nèi)的點C處.
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