Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板（△ABC）按如圖所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．

（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)是　 ；

（2）如果拋物線l：y＝ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B，試求拋物線l的解析式；

（3）把△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1是否在拋物線l上？為什么？

（4）在x軸上方，拋物線l上是否存在一點(diǎn)P，使由點(diǎn)A，C，B，P構(gòu)成的四邊形為中心對(duì)稱圖形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）點(diǎn)A1在拋物線上；理由見解析；（4）存在，點(diǎn)P（﹣2，1）．

【解析】

（1）首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，通過證明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，從而得知B坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法，將B坐標(biāo)代入即可求得；

（3）畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，過點(diǎn)作x軸的垂線，構(gòu)造全等三角形，求出的坐標(biāo)代入拋物線解析式即可進(jìn)行判斷；

（4）由拋物線的解析式先設(shè)出P的坐標(biāo)，再根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì) 與線段中點(diǎn)的公式列出方程求解即可。

（1）如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠CAO，

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，

在△BDC和△COA中：

∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，

∴△BDC≌△COA（AAS），

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵拋物線y＝ax2﹣ax﹣2過點(diǎn)B（3，1），

∴1＝9a﹣3a﹣2，

解得：a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；

（3）旋轉(zhuǎn)后如圖1所示，過點(diǎn)A1作A1M⊥x軸，

∵把△ABC繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，

∴A1，B，C共線，

在三角形BDC和三角形A1CM中：

∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,

∴△BDC≌△A1CM

∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，

∴OM＝1，

∴點(diǎn)A1（﹣1，﹣1），

把點(diǎn)x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，

y＝﹣1，

∴點(diǎn)A1在拋物線上．

（4）設(shè)點(diǎn)P（t， t2﹣t﹣2），

點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)B（3，1），

若點(diǎn)P和點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：

，，

無解，

若點(diǎn)P和點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：

，，

無解，

若點(diǎn)P和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，由中心對(duì)稱的性質(zhì)和線段中點(diǎn)公式可得：

，，

解得：t＝﹣2，

t2﹣t﹣2＝1

所以：存在，點(diǎn)P（﹣2，1）．