Question

15．暑假期間，某學(xué)校計劃用彩色的地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓門前一塊矩形操場ABCD的地面．已知這個矩形操場地面的長為100m，寬為80m，圖案設(shè)計如圖所示：操場的四角為小正方形，陰影部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，在實際鋪設(shè)的過程總，陰影部分鋪紅色地面磚，其余部分鋪灰色地面磚．
（1）如果操場上鋪灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍，那么操場四角的每個小正方形邊長是多少米？
（2）如果灰色地面磚的價格為每平方米30元，紅色地面磚的價格為每平方米20元，學(xué)�，F(xiàn)有15萬元資金，問這些資金是否能購買所需的全部地面磚？如果能購買所學(xué)的全部地面磚，則剩余資金是多少元？如果不能購買所需的全部地面磚，教育局還應(yīng)該至少給學(xué)校解決多少資金？

Answer 1

分析 （1）設(shè)小正方形的邊長為x米，表示出里邊大矩形的長為（100-2x）米，寬為（80-2x）米，利用灰色部分的面積=4個小正方形的面積+里邊大矩形的面積，紅色部分面積=上下兩個矩形面積+左右兩個矩形面積，根據(jù)灰色地面磚的面積是鋪紅色地面磚面積的4倍列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為小正方形的邊長；
（2）設(shè)鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)等量關(guān)系“總費用=鋪白色地面磚的費用+鋪綠色地面磚的費用”列出y關(guān)于x的函數(shù)，求得最小值，與15萬元比較可得是否夠用．

解答 解：（1）設(shè)操場四角的每個小正方形邊長是x米，根據(jù)題意，
得：4x²+（100-2x）（80-2x）=4[2x（100-2x）+2x（80-2x）]，
整理，得：x²-45x+200=0，
解得：x₁=5，x₂=40（舍去），
故操場四角的每個小正方形邊長是5米；
（2）設(shè)鋪矩形廣場地面的總費用為y元，廣場四角的小正方形的邊長為x米，
則，y=30×[4x²+（100-2x）（80-2x）]+20×[2x（100-2x）+2x（80-2x）]
即：y=80x²-3600x+240000
配方得，y=80（x-22.5）²+199500
當(dāng)x=22.5時，y的值最小，最小值為19.95萬元＞15萬元，
故這些資金不能購買所需的全部地面磚，教育局還應(yīng)該至少給學(xué)校解決19.95-15=4.95萬元資金．

點評 此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，以及一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的前提是表示出灰色、紅色部分的面積，弄清題中的等量關(guān)系是解本題第一問的關(guān)鍵．