Question

2．將等腰△ABC與等腰△BDE，如圖擺放，其中∠ACB=∠BDE=90°，點C在BD上，連AE，取AE的中點F，連CF、DF．
（1）求證：CF=DF，CF⊥DF．
（2）如圖，當(dāng)點C不在BD上時（45°＜∠CBD＜90°，A、C、D三點不共線），其他條件均不變，（1）中的結(jié)論是否任然成立？請說明理由？

Answer 1

分析 （1）連接BF，延長CF交AC于點G，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠FBE=∠FEB，可證得CG∥BC，得出△CDG為等腰直角三角形，再證明△ACF≌△GEF，即可得到結(jié)論；
（2）取AB，BE的中點M，N，連接CM，DN，MF，NF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CM⊥AB，DN⊥BE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到MF∥BE，MF=$\frac{1}{2}$BE，推出四邊形MBNF是平行四邊形，于是得到∠FMB=∠FNB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=DF，∠CFM=∠FDN，由周角的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接BF，延長CF交DE于點G，
∵∠ABC=∠DBE=45°，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，F(xiàn)為斜邊中點，
∴BF=AF，
∴∠FBE=∠FEB，
在△AFC與△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BF}\\{CF=CF}\\{DE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BFC，
∴∠AFC=∠BFC，
∵∠AFB=∠FBE+∠FEB，
∴∠AFC+∠BFC=∠FBE+∠FEB，
∴2∠CFB=2∠FBE，
則∠CFB=∠FBE，
∴CG∥BE，
∵△BDE為等腰直角三角形，且CG∥BC，DB=DE，
∴DC=DG，BC=EG，
∵CB=AC，
∴AC=EG，
∵∠ACB=∠BDE=90°，
∴DE∥AC，
∴∠CAF=∠GEF，
在△ACF和△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EF}\\{∠CAF=∠GEF}\\{AC=GE}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△GEF（SAS），
∴CF=FG，
∵△DCG為等腰直角三角形，
∴DF⊥CG；
∵F為CG中點，
∴DF=CF；

（2）（1）中的結(jié)論成立，
理由：取AB，BE的中點M，N，連接CM，DN，MF，NF，
∵△ABC與△BDE是等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，DN⊥BE，
∵F為AE中點，
∴MF∥BE，MF=$\frac{1}{2}$BE，
∴MF=BN，
∴四邊形MBNF是平行四邊形，
∴∠FMB=∠FNB，∠CMF=90°-∠FMB，∠FND=90°-∠FNB，
∴∠CMF=∠DNF，
∵CM=BM=FN，F(xiàn)M=BN=DN，
在△CMF與△FND中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=FN}\\{∠CMF=∠FND}\\{MF=DN}\end{array}\right.$，
∴△CMF≌△FND，
∴CF=DF，∠CFM=∠FDN，
∵∠CFD=360°-∠CFM-∠MFN-∠DFN
=360°-（∠FDN+∠DFN）-（180°-∠FNB）
=360°-（180°-∠DNF）-180°+∠FNB
=∠DNF+∠FNB=90°，
∴CF⊥DF，CF=DF．

點評 本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．