Question

在平面直角坐標系中，己知O為坐標原點，點A（3，0），B（0.4），以點A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABO順時針旋轉(zhuǎn)，得△ACD．記旋轉(zhuǎn)角為α．∠ABO為β．

（I ）如圖①，當旋轉(zhuǎn)后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；

（II）如圖②，當旋轉(zhuǎn)后滿足BC∥x軸時，求α與β之間的數(shù)量關系：

（III）當旋轉(zhuǎn)后滿足∠AOD=β時，求直線CD的解析式（直接寫出結果即可）．

 

Answer 1

【答案】

（1）（，）   （2）α=2β   （3）y=x﹣4

【解析】

試題分析：（1）∵點A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，

根據(jù)題意，有DA=OA=3．

如圖①，過點D作DM⊥x軸于點M，

則MD∥OB，

∴△ADM∽△ABO．有，

得，

∴OM=，

∴，

∴點D的坐標為（，）．

（2）如圖②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴在△ABC中，

∴α=180°﹣2∠ABC，

∵BC∥x軸，得∠OBC=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，

∴α=2β；

（3）若順時針旋轉(zhuǎn)，如圖，過點D作DE⊥OA于E，過點C作CF⊥OA于F，

∵∠AOD=∠ABO=β，

∴tan∠AOD==，

設DE=3x，OE=4x，

則AE=4x﹣3，

在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，

∴9=9x²+（4x﹣3）²，

∴x=，

∴D（，），

∴直線AD的解析式為：y=x﹣，

∵直線CD與直線AD垂直，且過點D，

∴設y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，

解得b=4，

∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣．

同理可得直線CD的另一個解析式為y=x﹣4．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；勾股定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解釋式等知識點，本題關鍵在于結合圖形找到相似三角形，求相關線段的長度和有關點的坐標．