Question

已知k、a都是正整數(shù)，2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方數(shù)．
（1）請問這樣的有序正整數(shù)（k，a）共有多少組？
（2）試指出a的最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于2004k+a、2004（k+1）+a都是完全平方數(shù)，根據(jù)完全平方數(shù)的定義可設(shè)2004k+a=m²①，2004（k+1）+a=n²②，（這里m、n都是正整數(shù)），將②-①，得n²-m²=2004，即（n+m）（n-m）=2×2×3×167，由于m+n與n-m的奇偶性相同，可得關(guān)于m、n的二元一次方程組，解方程組求出m、n的值，再根據(jù)k、a都是正整數(shù)，即可確定滿足條件的（k，a）的組數(shù)．
（2）由（1）知，a是k的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，并結(jié)合k的取值范圍，即可求出a的最小值．

解答：解：（1）設(shè)2004k+a=m²，①
2004（k+1）+a=n²，②
這里m、n都是正整數(shù)，則n²-m²=2004．
故（n+m）（n-m）=2004=2×2×3×167．
注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，則

n+m=1 002 n-m=2

    或

n+m=334 n-m=6.

解得

n=502 m=500

    或

n=170 m=164.

當(dāng)n=502，m=500時(shí)，由式①得2004k+a=250000．
即：a=250000-2004k  ③．∵k、a都是正整數(shù)，
∴k＞0，250000-2004k＞0，
解得：0＜k＜124.75…．      
∴k可以取值1，2，…，124，相應(yīng)得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共124組．
當(dāng)n=170，m=164時(shí)，由式①得2004k+a=26896．
即a=26896-2004k  ④．
∵k、a都是正整數(shù)，
∴k＞0，26896-2004k＞0，
解得：0＜k＜13.42…．      
∴k可以取值1，2，…，13，相應(yīng)得滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共13組．
從而，滿足要求的正整數(shù)數(shù)組（k，a）共有：124+13=137（組）．
故這樣的有序正整數(shù)（k，a）共有137組；

（2）由③、④可知a是k的一次函數(shù)，且a隨k的增大而減小，
即當(dāng)k取最大值時(shí)，a有最小值．
對于③，當(dāng)k=124時(shí)，a=1504，
對于④，當(dāng)k=13時(shí)，a=844．
故a的最小值應(yīng)為844．

點(diǎn)評：本題考查了完全平方數(shù)，奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)，二元一次方程組及一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于競賽題型，有一定難度．本題由m+n與n-m的奇偶性相同得出關(guān)于m、n的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．