Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD 的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1CC1B1，延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2C1C2B2，…，按照這樣的規(guī)律作正方形，則點(diǎn)B2019的縱坐標(biāo)為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB＝2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的，以此類(lèi)推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，再過(guò)B點(diǎn)作BH⊥x軸，過(guò)B1點(diǎn)作B1H1⊥x軸，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOD≌△BHA，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)△ABH∽△A1B1H1，得到B1縱坐標(biāo)與B點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，以此類(lèi)推，即可得到點(diǎn)B2019的縱坐標(biāo)

如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BAD＝90，AB＝BC，

∴∠ABA1＝90，∠DAO＋∠BAA1＝90，

又∵在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠DAO＋∠ADO＝90，

∴∠ADO＝∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

∠AOD＝∠ABA1＝90

∠ADO＝∠BAA1，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO＝AB：A1B＝2，

∴BC＝2A1B，

∴A1C＝BC，

以此類(lèi)推A2C1＝A1C，A3C2＝A2C1，…，

即后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍，

過(guò)B點(diǎn)作BH⊥x軸，

在△AOD和△BHA中

∴△AOD≌△BHA

∴BH=AO=1

作過(guò)B1點(diǎn)作B1H1⊥x軸，

∵BH∥B1H1，

∴△ABH∽△A1B1H1，

∴

∴

∴

作過(guò)B2點(diǎn)作B2H2⊥x軸，

同理△A1B1H1∽△A2B2H2，

∴

∴

以此類(lèi)推：

∴B2019H2019=

∴點(diǎn)B2019的縱坐標(biāo)為

故答案為：．