Question

如圖，C是直徑為AB的圓O上一點，D是弧AC的中點，DE⊥BC于E，ED交BA的延長線于F．
（1）求證：EF是圓0的切線；
（2）若DF=10

3

，AF=OA，求弧AC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,弧長的計算

專題：

分析：（1）連接OD，求出∠E=∠ACB=∠ECA=∠DMC=90°，求出∠EDO=90°，證得OD⊥ME，從而判定切線；
（2）根據(jù)勾股定理求出半徑，求出∠FOD，即可求出∠AOC，根據(jù)弧長公式求出弧AC的長即可．

解答：（1）證明：連接OD，AC，兩線交于M，
∵點D是弧AC的中點，
∴OD⊥AC，
∵AB是直徑，DE⊥BC，
∴∠E=∠ACB=∠ECA=∠DMC=90°，
∴∠EDO=360°-90°-90°-90°=90°，
∴OD⊥EF，
∵OD為半徑，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：設OD=R，
則AF=OA=R，
在Rtβ△FDO中，F(xiàn)D²+DO²=FO²，
即（10

3

）²+R²=（2R）²，
解得：R=10，
即OD=R=10，OF=2R=20，
∴∠F=30°，∠FOD=60°，
∵D為弧AC的中點，
∴∠AOC=2×60°=120°，
∴弧AC的長是

120π×10

180

=

20

3

π．

點評：本題考查了切線的判定，弧長公式，圓周角定理，勾股定理的應用，解題的關鍵是正確地作出輔助線，題目比較好，難度適中．