Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在x正半軸，以點(diǎn)A為圓心作⊙A，點(diǎn)M（4，4）在⊙A上，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b與圓相切于點(diǎn)M，分別交x軸、y軸于B、C兩點(diǎn)．
（1）直接寫出b的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和圓的半徑；
（3）若EF切⊙A于點(diǎn)F分別交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求$\frac{GF}{EG}$的值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線y=-$\frac{3}{4}$x+b的解析式可求得b的值，由b的值可得到直線的解析式，然后令y=0可求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）由相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)為-1，可設(shè)直線AM的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+c，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可求得c的值，然后令y=0可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得圓A的半徑．
（3）如圖1所示：連接AF、AM．先證明四邊形AFEM為正方形，于是可求得ME=5，然后在△ABM中依據(jù)勾股定理可求得MB的長(zhǎng)，從而可求得BE的長(zhǎng)，接下來(lái)，證明△AGF∽△BGE，由相似三角形的性質(zhì)可求得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)M在直線y=-$\frac{3}{4}$x+b上，
∴-$\frac{3}{4}$×4+b=4，解得：b=7．
∴直線的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+7．
∵當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{4}$x+7=0，解得：x=$\frac{28}{3}$，
∴B（$\frac{28}{3}$，0）．
（2）∵BC是圓A的切線，
∴AM⊥BC．
設(shè)直線AM的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+c．
∵將M（4，4）代入y=$\frac{4}{3}$x+c得$\frac{16}{3}$+c=4，解得：c=$-\frac{4}{3}$，
∴直線AM的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
∵當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
∵由兩點(diǎn)間的距離公式可知AM=$\sqrt{（4-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，
∴圓A的半徑為5．
（3）如圖1所示：連接AF、AM．

∵BC、EF是圓A的切線，
∴AM⊥BC，AF⊥EF．
又∵BC⊥EF，
∴∠AME=∠MEF=∠EFA=90°．
∴四邊形AFEM為矩形．
又∵AM=AF，
∴四邊形AFEM為正方形．
∴ME=AF=5．
∵在Rt△AMB中，MB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∴BE=BM-ME=$\frac{5}{3}$．
∵∠AFG=∠BEG=90°，∠AGF=∠BGE，
∴△AGF∽△BGE．
∴$\frac{FG}{EG}=\frac{AF}{BE}$即$\frac{GF}{EG}=\frac{5}{\frac{5}{3}}$．
∴$\frac{GF}{EG}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，明確相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1是解題的關(guān)鍵．