Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在對角線OB上，且OD=OC，CD的延長線交AB于點E，求點E的坐標．

Answer 1

分析 由正方形的性質得出∠OCB=90°，BC=OC=OA=AB=1，OC∥AB，由勾股定理得出OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=OC=1，證出△BDE∽△ODC，得出對應邊成比例求出BE，得出AE，即可得出結果．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OCB=90°，BC=OC=OA=AB=1，OC∥AB，
∴OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，OD=OC=1，△BDE∽△ODC，
∴BD=$\sqrt{2}$-1，$\frac{BE}{OC}=\frac{BD}{OD}$，
即$\frac{BE}{1}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}$，
解得：BE=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴點E的坐標為（1，2$-\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、坐標與圖形性質；熟練掌握正方形的性質，由相似三角形的性質求出BE是解決問題的關鍵．