Question

15．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，點O是AB的中點，將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時，α的值為40°或70°或100°．

Answer 1

分析 連結(jié)AP，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OP=OB，則可判斷點P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角定理得∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$α，∠ACP=∠ABP=90°-$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，然后分類討論：當(dāng)AP=AC時，∠APC=∠ACP，即90°-$\frac{1}{2}$α=70°；當(dāng)PA=PC時，∠PAC=∠ACP，即$\frac{1}{2}$α+20°=90°-$\frac{1}{2}$α，；當(dāng)CP=CA時，∠CAP=∠CAP，即$\frac{1}{2}$α+20°=70°，再分別解關(guān)于α的方程即可．

解答 解：連結(jié)AP，如圖，
∵點O是AB的中點，
∴OA=OB，
∵OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，
∴OP=OB，
∴點P在以AB為直徑的圓上，
∴∠BAP=$\frac{1}{2}$∠BOP=$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，
∵∠ACB=90°，
∴點P、C在以AB為直徑的圓上，
∴∠ACP=∠ABP=90°-$\frac{1}{2}$α，∠APC=∠ABC=70°，
當(dāng)AP=AC時，∠APC=∠ACP，
即90°-$\frac{1}{2}$α=70°，解得α=40°；
當(dāng)PA=PC時，∠PAC=∠ACP，
即$\frac{1}{2}$α+20°=90°-$\frac{1}{2}$α，解得α=70°；
當(dāng)CP=CA時，∠CAP=∠CAP，
即$\frac{1}{2}$α+20°=70°，解得α=100°，
綜上所述，α的值為40°或70°或100°．
故答案為40°或70°或100°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是用α表示∠ACP和∠CAP，再運用分類討論的思想和等腰三角形的性質(zhì)建立關(guān)于α的方程．