Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條拋物線于x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（-1，0），（0，-2）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M為第四象限內(nèi)的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)線段CM=CH時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，將線段MG繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)線段MG與拋物線交于點(diǎn)N，在線段GA上是否存在點(diǎn)P，使得以P，N，G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)直接求出拋物線解析式；
（2）先求出直線AC解析式，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示出線段GH、HM的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MG于點(diǎn)E，表示出HE的長(zhǎng)度，由CH=CM得HM=2EH，從而建立方程，解之即得M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先判定三角形ABC是直角三角形，當(dāng)NP⊥x軸時(shí)，∠NPG=90°，此時(shí)分兩種情況討論：①若∠PNG=∠CAB，則△PNG∽△CAB；②若∠PNG=∠CBA，則△PNG∽CBA．分別利用相似比建立方程求解．

解答 解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=a（x-4）（x+1），
把（0，-2）代入上式，得a=$\frac{1}{2}$，
∴該拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2$．
（2）如圖1，連接CM，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MG于點(diǎn)E，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+h，（k≠0），
把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+h=0}\\{h=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{h=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為$y=\frac{1}{2}x-2$．
∵點(diǎn)M在拋物線上（且在第四象限），點(diǎn)H在AC上，MG⊥x軸，
∴設(shè)M（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2$），則H（m，$\frac{1}{2}m-2$），E（m，-2），
∴MH=$\frac{1}{2}m-2-（\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2）=-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m$，
又∵CM=CH，OC=GE=2，
∴EH=GE-GH=$2-（-\frac{1}{2}m+2）=\frac{1}{2}m$，
∴MH=2EH=m，
由$-\frac{1}{2}{m}^{2}+2m=m$，得m=2或m=0（舍），
∴m=2，此時(shí)$\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m-2=-3$，
∴M（2，-3）．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
∵A（4，0），B（-1，0），C（0，-2），
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴∠ACB=90°，
如圖2，線段MG繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，與拋物線交于點(diǎn)N，當(dāng)NP⊥x軸時(shí)，∠NPG=90°，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，0），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{3}{2}n-2$），
∵∠PNG=∠ACB=90°，
①若∠PNG=∠CAB，則有△PNG∽△CAB成立，
此時(shí)$\frac{PN}{AC}=\frac{PG}{CB}$，
∴$\frac{-（\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{3}{2}n-2）}{2\sqrt{5}}=\frac{n-2}{\sqrt{5}}$，解得：n=3或n=-4（舍），
∴P（3，0）；
②若∠PNG=∠CBA，則有△PNG∽CBA成立，此時(shí)$\frac{PN}{BC}=\frac{PG}{CA}$，
∴$\frac{-（\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{3}{2}n-2）}{\sqrt{5}}=\frac{n-2}{2\sqrt{5}}$，解得n=1+$\sqrt{7}$或n=1-$\sqrt{7}$（舍），
∴P（1+$\sqrt{7}$，0）；
綜上所述，存點(diǎn)P（3，0）或P（1+$\sqrt{7}$，0），使得以P、N、G為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)與一次函數(shù)數(shù)解析式、線段長(zhǎng)度的坐標(biāo)表示、一元二次方程的解法、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．無(wú)論是第（2）問(wèn)還是第（3）問(wèn)，都是方程思想的體現(xiàn)，要引起重視．