Question

18．已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1，則m的值是無(wú)實(shí)數(shù)值．

Answer 1

分析 先根據(jù)判別式的意義可判斷m＜$\frac{3}{4}$，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-（2m-3），αβ=m²，接著由$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1變形得到（α+β）²=αβ，則（2m-3）²=m²，解得m=3或m=1，然后根據(jù)m＜$\frac{3}{4}$，可判斷m無(wú)實(shí)數(shù)值．

解答 解：根據(jù)題意得△=（2m-3）²-4m²＞0，解得m＜$\frac{3}{4}$，
α+β=-（2m-3），αβ=m²，
∵$\frac{α}{β}$+$\frac{β}{α}$=-1，
∴α²+β²=-αβ，
∴（α+β）²=αβ，
∴（2m-3）²=m²，解得m=3或m=1，
∵m＜$\frac{3}{4}$，
∴m無(wú)解．
故答案為無(wú)實(shí)數(shù)值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．