Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=3cm，BD=4cm．作DE∥AC，交BC的延長線于E，則下列結(jié)論：①四邊形ACED是平行四邊形；②∠BDE=∠BOC=90°；③BC+AD=BE=5cm；④S_梯形ABCD=S_△BDE；⑤梯形ABCD的高DH==2.4cm，面積為6cm²．其中正確的有（ ）

A．5個
B．4個
C．3個
D．2個

Answer 1

【答案】分析：由AD∥BC，DE∥AC，可推出四邊形ACED是平行四邊形；再根據(jù)AC⊥BD，DE∥AC，推出∠BDC=∠BOC=90°；根據(jù)勾股定理即可推出BE的值，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AD=CE，即可求出BC+AD=BE=5cm；然后根據(jù)BC+AD=BE，結(jié)合梯形與三角形的面積公式即可求出S_梯形ABCD=S_△BDE；再通過求證△BHD∽△BDE，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可推出DH===2.4cm，繼而求出梯形ABCD的面積為6cm²．
解答：解：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∵DE∥AC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠BDC=∠BOC=90°，
∵AC=3cm，BD=4cm，
∴BE=5，
∵BE=BC+CE，
∴BC+AD=BE=5cm，
∵DH⊥BE，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DH•，S_△BDE=BE•DH•，
∵AD+BC=BE，
∴S_梯形ABCD=S_△BDE，
∵∠DBH=∠EBD，∠DHB=∠EDB，
∴△BHD∽△BDE，
∴，
∴DH===2.4cm，
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DH•=BE•DH•=5×2.4×=6cm²．
所以，總上所述①②③④⑤均正確．
故選A．
點評：本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、梯形與三角形的面積公式等知識點，關(guān)鍵在于綜合熟練的運用相關(guān)的性質(zhì)定理，正確的進(jìn)行計算．